AIDE 1 DV n °3 TS 19/10/12

                     AIDE    DV    n °3       TS       19/10/12

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   EXERCICE 1.        

      INFO 1     Pour avoir la forme algébrique de 

                                         grand-zdv.jpg

               avec z ≠ 2 .  

                   •On peut tout de suite remplacer z par x + i y  avec la condition

                         ( x , y ) ≠  ( 2 ; 0)

                     puis chercher la forme algébrique.

                   Mais on n'est pas obligé de se précipiter ainsi !

                 • On peut aussi   prendre le temps de multiplier en haut et en bas par  

                   le conjugué de z - 2  puis développer et réduire, et 

                  pour finir par remplacer z par x + i y et | z |2 par x2 + y 2.

    INFO 2

                 • Equation d'un cercle.

                              Le plan est muni d'un nrepère orthonormal.

                        Le cercle ( C ) de centre  le point A( α , β ) de rayon R > 0

                       est l'ensemble des points M du plan tels que AM = R

                         c-à-d                 tels que AM2 = R2

                        c-à-d                 tels que  AM2 -  R2    = 0    ( 1 ) 

                        Soint ( x , y  ) le couple des coordonnées d'un point M du plan

                           ( 1 ) se traduit par l' équation :

                                      ( x - α )2 + ( y -  β )2  -  R2 = 0          ( 1 )

                           c-à-d 

                               x2 + y2 -  2 α x - 2  β  y +  α2 +  β2 -   R2 = 0

                                         C'est l'équation du cercle ( C ).

                 • PROBLEME:     

                          On se trouve en présence d'une équation de la forme

                                x2 + y2 -  2 a x - 2 b  y +  a2 +  b2 -   c2 = 0          ( 2 )

                       où a , b , c sont des réels on n'a pas forcément une équation de  cercle.                

                    On veut savoir  si l'ensemble  (  Γ  ) des point M( x , y ) du plan  tels que  ( 2 ) est un cercle. 

                         La méthode:  

                              On fait apparaître le début d'un "carré  parfait" en x " et le début d'un "carré parfait" en y .

                          On obtient une équation de la forme :   ( x - α  )2 + ( y - β )2    + k = 0

                            où  α  ,  β ,  k  sont des réels.

                            ••   Si  k  =  0    alors   L'ensemble cherché est (  Γ  ) = { A(α , β ) } .

                                 Il contient le seul point A(α , β )
                            ••    Si  k  < 0   alors ( x - α  )2 + ( y - β )2    = - k 

                          En posant R = √(- k )    l'ensemble   (  Γ  )  cherché est le cercle de centre

                             A( α , β ) de rayon R   

                                 ••    Si  k  > 0   alors ( x - α  )2 + ( y - β )2    = - k 

                                    est impossible.

                           (  car un réel strictement négatif - k    ne peut pas être égal à un 

                              réel positif ou nul   ( x - α  )2 + ( y - β )2     )

                     Exemple:

                          x2 + y2   - y + x + 1 = 0   est-elle une équation de cercle?

                        Réponse :

                           x2 + y2   - y + x + 1 = 0   s'écrit :

                            x2 +  2 ( 1 / 2 ) x  +  y2  - 2 ( 1 / 2) y + 1 = 0 

                c-à-d 

                  ( x +  1 / 2 ) 2 - ( 1 / 2 )2    +   ( y -  1 / 2 )2  -  ( 1 / 2 )2   + 1 = 0

          c-à-d  

             ( x +  1 / 2 ) 2     +  ( y -  1 / 2 )2    - 1 / 4 - 1 / 4 + 1 = 0

           c-à-d

          ( x - (-  1 / 2 ) ) 2     +  ( y -  1 / 2 )2   +  2 / 4 = 0

       c-à-d            

        ( x - (-  1 / 2 ) ) 2     +  ( y -  1 / 2 )2   +  1 / 2 = 0

        Comme  1 / 2 > 0    cela est  impossible.

           Conclusion ;  NON.  Il ne s'agit pas d'une équation de cercle.

        Autre exemple :

                x2 + y2   - y + x - 1 = 0   est-elle une équation de cercle?

            Réponse : 

       De la même façon    x2 + y2   - y + x - 1 = 0   s'écrit:  

            ( x - (-  1 / 2 ) ) 2     +  ( y -  1 / 2 )2   - 1 / 4   - 1 / 4   - 1 = 0

          c-à-d 

                    ( x - (-  1 / 2 ) ) 2     +  ( y -  1 / 2 )2   - 6 / 4    = 0

      c-à-d  

             ( x - (-  1 / 2 ) ) 2     +  ( y -  1 / 2 )2   - 3 / 2    = 0

            On voit que - 3 / 2 < 0  donc on va avoir une équation de cercle.

            On a:        ( x - (-  1 / 2 ) ) 2     +  ( y -  1 / 2 )2       = [ √(  3 / 2 )  ]2     

              Conclusion:   OUI.   On a le cercle de centre le point A( - 1 / 2 ; 1 / 2 ) et

                          de rayon R =  √(  3 / 2 )