INFO LISTE 4 EX DERI 1S

INFO  LISTE n° 4 D'EX .   SUR LA DERIVATION     Déc. 08


    EX.1                La fonction  f : x → ( 2 x - 1 ) / 3   +    3 / ( 2 x - 1 )

                   Donnons    Df = IR - { 1 / 2 }       Dd  = IR - { 1 / 2 }  

                                     et      f '  .

               On a :   f : x → ( 2 / 3 ) x - (  1/ 3 )  + 3 (  1 / ( 2 x - 1 ) )

               Soit les fonctions    u :→ ( 2 / 3 ) x - 1/ 3 

                                              v : x → 2 x - 1

              On a:     f  = u + 3 ( 1 / v )  sur   IR - { 1 / 2 }.

               La fonction affine u  est définie et dérivable sur IR.

              La fonction affine est définie et dérivable dans IR

              et est non nulle dans  IR - { 1 / 2 }.     

             La fonction 1 / v  est donc définie et dérivable dans IR - { 1 / 2 }.

                    ( 1 / v ) ' = - v ' / v².

             Ainsi la fonction f est définie et dérivable dans IR - { 1 / 2 } comme

             somme de fonctions définies et dérivables dans IR - { 1 / 2 }.

             De plus on a :   f ' = u ' + 3 ( - v ' / v² ).

             Mais u ' : x → ( 2 / 3 )  

             et         v ' : x → 2

             Soit x dans IR - { 1 / 2 }.

             On a :        f '( x  ) =  2 / 3   + 3 ( - 2 / ( 2 x - 1 )² )

             c-à-d        f '( x  ) =  2 / 3   -  6  / ( 2 x - 1 )²

          Conclusion:        Df = IR - { 1 / 2 }       Dd  = IR - { 1 / 2 }  

                                 et      f ' : →  2 / 3   -  6  / ( 2 x - 1 )² .


          EX.2    Même question que dans l'exercice précédent avec la fonction

                         g : x →  3 x - 4   -   5 / ( 3 x - 1 )

                        Soit les fonctions    u :→  3 x - 4

                                                     v : x → 3 x - 1

              On a:     g = - 5 ( 1 / v )     sur IR - { 1 / 3 }.

              La fonction affine u  est définie et dérivable sur IR.

              La fonction affine est définie et dérivable dans IR

              et est non nulle dans  IR - { 1 / 3 }.     

             La fonction  1 / v  est donc définie et dérivable dans IR - { 1 / 3 }.

                     ( 1 / v ) ' = - v ' / v²

             Ainsi la fonction  g est définie et dérivable dans IR - { 1 / 2 } comme

             somme de fonctions définies et dérivables dans IR - { 1 / 3 }.

             De plus on a :   g ' = u ' - 5 ( - v ' / v² ).

             Mais u ' : x → 3  

             et         v ' : x → 3

             Soit x dans IR - { 1 / 3 }.

             On a :        g '( x  ) =  3  - 5  ( - 3 / ( 3 x - 1 )² )

             c-à-d        g'( x  ) =   3   + 15  / ( 3 x - 1 )²

          Conclusion:        Dg = IR - { 1 / 3 }       Dd  = IR - { 1 / 3 }  

                                 et      g ' : →  3   +  15  / ( 3 x - 1 )²


            EX.3         Même question avec la fonction f : x →  (  ( 2 x - 1 ) / ( x - 1 )  )²

                           On peut à l'aide de la division établir que :

                           ( 2 x - 1 ) / x - 1 ) = 2   +  1 / ( x - 1 )  pour tout x dans IR - { 1 }.                             

   2 x - 1 ¦x - 1
- ( 2 x - 2 ) ¦2
             1

                        Soit u : x→ x - 1.

                        On a   f  = ( 2 + 1 / u ) ².

              La fonction u est définie et dérivable dans IR.

               u' : x → 1

              u est non nulle dans IR - { 1 }.

              La fonction 1 / u est définie et dérivable dans IR - { 1 }.

                 ( 1 : u ) ' = - u ' / u²

             C'est aussi le cas de la fonction  2 +  1 / u 

                 (  2 + 1 / u ) ' = ( 1 /  u ) ' =  -  u ' / u²

            f , comme carré d'une  fonction définie et dérivable dans IR - { 1 } ,

             est définie et dérivable dans  IR - { 1 }.

            On a :   f ' = 2 (  2 + 1 / u ) (  2 + 1 / u ) '

           Donc      f ' = 2 (  2 + 1 / u ) (  - u ' / u²  )  

           On a : f ' : x  → 2 (  2 + 1 / ( x - 1 ) ) (  - 1 / ( x - 1 )²  ) 

            Conclusion:      Df = IR - { 1 }       Dd  = IR - { 1  }   

                                  et      f ' : →  2 (  2 + 1 / ( x - 1 ) ) (  - 1 / ( x - 1 )²  ) 


 EX.4   Même question avec la fonction g : x → 1 / √x   - 1 / ( 2 x ).

            On a :  g : x → 1 / √x   - ( 1 / 2 ) ( 1 / x ) .

            Soit   les fonctions     u : x → √x      et      v  : x → 1/ x  .

            u et  v sont définies , dérivables  dans  IR+ •  .  

            u est non nulle dans    IR+ • .                  

            On a    g =  1 / u   - ( 1 / 2 ) v   .

             Donc  g est définie et dérivable dans  IR+ •  .

              On a :   ( 1 / u ) '  = - u ' / u²          

              avec    u ' : x → 1/ ( 2 √x )

              g ' : →  ( - 1 / ( 2√x  ) ) / (  √x  )²  - ( 1 / 2 ) ( - 1 / x² )

              c-à-d   g ' : →  - 1 / ( 2 x √x  ) +   1  / ( 2 x²  )

             Conclusion:    Dg = IR+ •         Dd  = IR+ •  

                                 et      g ' : →  - 1 / ( 2 x √x  ) +   1  / ( 2 x²  )


       EX.5     Même  question avec la fonction h : x → ( ( x - 2 ) / ( x + 1 ) ) √x

                   La fonction h est un produit de deux fonctions:

                        w : x   →  ( x - 2 ) / ( x + 1 )          k : x   → √x

                 Or la fonction rationnelle w est définie et dérivable dans IR- { - 1 }

                 et  la  fonction k est définie   dans   IR  et dérivable dans  IR+ • .

                 Ainsi  la fonction  h ,  c-à-d   w k , est  définie dans IR  et 

                dérivable dans IR+ • .

               On a :      ( w k ) '  = w '  k + w k '

               avec           k ' ;  x   →  1 / ( 2 √x )

               w = u / v          avec   u : x   → x - 2        et  v : x    →  x + 1

                w ' = ( v u ' - u v ' ) / v²

               On a :  u : x   → 1        et  v : x    →   1

              Soit x dans IR+ • .

               On a:      w ' ( x ) = (    ( x + 1 )( 1 ) - ( x - 2 ) ( 1 )  ) / ( x + 1 )²

                c-à-d         w '( x ) = ( x + 1 - x + 2 ) / ( x + 1 )²

               c-à-d            w ' (x ) = 3 / ( x + 1 )²

             D'où finalement:

                        h ' : x   → (  3 / ( x + 1 )²  ) √x  + (  ( x - 2 ) / ( x + 1 )   ) (   1 / ( 2 √x )  )

                   Conclusion ;          Dh = IR         Dd  = IR+ •                 

                                             h' : x   → (  3 / ( x + 1 )²  ) √x  + (  ( x - 2 ) / ( x + 1 )   ) (   1 / ( 2 √x )  )