Leçon n° 3 Limites et continuité d'une fonction

                      Leçon n° 3     Limites et continuité d'une fonction     TS          octobre- novembre  2014 

     1.Remarque:

                 L'habitude, en terminale depuis la disparition de la notion de limite en 1S ,

                veut que maintenant on introduit la notion de limite lors de la leçon sur les suites.

          Ainsi les candidats ayant pris l'habitude de la notion de limite d'une suite acceptent

          volontier sa généralisation à la limite d'une fonction.

          La variable n'est plus forcément n dans IN mais x dans IR et elle ne tend pas

              forcément vers  + ∞.

         2.  Limite infinie quand la variable tend vers + ∞.

               f est une fonction définie sur un intervalle I d'extrémité + ∞.

                  ( C'est indispensable pour pouvoir faire tendre la variable vers + ∞ )

             lim f(x ) = + ∞   signifie :      " Tout intervalle ouvert d'extrémité + ∞ contient 

            x → + ∞                                      tous les f( x ) pour x assez grand dans I  "

             On admet :      lim xn = + ∞    pour tout n dans IN*

                                     x → + ∞

                      et      lim √x = + ∞

                                x → + ∞

          3. Limite finie quand la variable tend vers + ∞ .

                 f est une fonction définie sur un intervalle I d'extrémité + ∞.

                  Soit L un nombre réel.

              lim f(x ) = L   signifie   " Tout intervalle ouvert centré en L contient 

              x → + ∞                            tous les f( x ) pour x assez grand dans I  "

             On admet  que :     lim 1 / xn  = 0        pour tout n dans IN*

                                             x → + ∞

                                        lim 1 / √x  = 0  

                                            x → + ∞

        4. Remarque:   Il existe des définitions analogues pour x tendant vers  − ∞.

        5.Limite finie L en un réel a.

               f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant le

              réel a et soit L un nombre réel .

            lim f(x ) = L      signifie    " Tout intervalle ouvert centré en L contient tous les f( x ) 

             x → a                                 pour x assez proche de a dans I  "

                Ainsi par exemple :    lim [ 1  / ( x + 2 )  ] = 1 / 5

                                                       x →   3

         6. Limite infinie en un réel a.

               f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I d'extrémité a.

            lim f( x ) = + ∞     signifie     " Tout intervalle ouvert d'extrémité + ∞ 

             x → a                                      contient tous les f(x ) à condition que x 

             x dans I                                  soit assez proche de a dans I   "

                      

          Quand on a :     lim f( x ) = + ∞     on dit que la droite verticale D : x = a 

                                    x → a+                      est une asymptote verticale à  droite pour la courbe de f  .          

           Quand on a :   lim f(x) = + ∞            on dit que la droite verticale D : x = a est           

                                      x → a−                         une asymptote verticale à  gauche pour la courbe de f  .  

           Quand on a :     lim f( x ) = f(a ) = lim f( x )         on dit  que la droite verticale D : x = a 

                                      x → a+                 x → a −           est une asymptote verticale  pour la courbe de f  .  

                ( Cela se généralise à − ∞  )

         7. Asymptote horizontale.

                      Soit D : y = L 

                     Soit f une fonction définie sur un intervalle d'extrémité + ∞.

                       lim f( x ) = L       signifie que    D est une asymptot horizontale en + ∞ à la 

                          x →  + ∞                                     courbe de f.

        8. Théorèmes.

                 On retrouve ceux rencontrés pour les suites,  pour les opérations,

                pour les majorations , pour les minorations, encadrement, ...etc .

        9. Remarque:

               Les méthodes sont les mêmes que celles utilisées pour les suites.

      10. CONTINUITE.

                 Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert contenant a.

                  f continue en a    si et seulement si    lim f( x ) = f(a ) 

                                                                                      x → a

            " Les fonctions cosinus , sinus , √ , polynômes , rationnelles sont

              continues sur leur domaine de définition."

           (  Intuitivement la continité en a veut dire qu'il n'y a pas de rupture en a

             pour la courbe de la fonction. )

        10 bis. PROPRIETE.

                      Soit u , v des fonctions définies et continues sur l'intervalle I et n dans IN*.

               Alors:

                  u + v  , u × v , un  , sont définies et continues sur I.

                  Si deplus v( x ) ≠ 0 pour totu x dans I alors

                                 u / v  est continue sur I.

          11. Théorème des valeurs intermédiaires. ( Admis ) 

                Soit f une fonction  définie et continue sur un intervalle I.

               Soit a et b dans I.

               Alors f prend au moins une fois sur I toute valeur comprise entre f( a ) et f( b ).

          12 . Idée.

                 Un cheval situé d'un côté d'une rivière ne peut aller brouter l'herbe

                de l'autre côté qu'en franchissant au moins une fois la rivière.

          13. Corollaire ou Th. de la bijection( TRES IMPORTANT )

               Soit f une fonction définie continue et strictement monotone sur l'intervalle

                [ α , β ].

                Alors f prend une et une seule fois toute valeur comprise entre f (α ) et f ( β ) . 

                 On dit :

                 Soit k un réel compris entre f(α )  et f( β ) .

                  L'équation f ( x ) = k  admet une et une seule solution sur [ α , β ].

           14. Remarque. 

                         Ce Théorème permet de justifier à la fois l'existence et l'unicité d'une

                         solution d'une équation quand ses hypothèses sont vérifiées.

        15. ROC sur le Corollaire.

                 •Unicité.

                  Le fait que f soit strictement monotone et pas seulement monotone sur [ α , β ] 

                  assure l'unicité . Il suffit de raisonner par l'absurde car

                    f( c ) = k  et      f ( c ' ) = k  donnent    f( c )  = f ( c ' )   puis c = c '

                • Existence .

                Prenons le cas où f est strictement croissante sur [ α , β ] .

                Soit k compris dans  [ f( (α ) , f( β )  ].

                  On  pose g( x )=  f( x ) - k     pour  tout x dans  [ α , β ].

                     Ainsi la fonction g est définie continue  sur  [ α , β ].

                     g( α ) < 0  et g(β  )  > 0

                   Donc 0 st entre g( α ) et g( β ) .

                 D'où , d'après le Th  des valeurs intermédiaires,  il existe au moins un c dans  [ α , β ]

                       tel que g( c ) = 0  c-à-d    f( c ) = k

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