DV n°8 TS spé math. 18 / 04/17

                         Devoir maison 18 avril 2017         TS Spé maths.

      EXERCICE 

           Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de

           ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année.

            Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance

            est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.

           Partie A.

            Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs

           d'effectuer le programme de calcul ( A ) suivant:

           •  "Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez le par 12."

           •  " Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez le par 37."

           •  " Ajoutez les deux nombres obtenus."

               " Je pourrai alors donner la date de votre anniversaire."

           Un spectateur annonce 308 et quelques secondes plus tard, le magicien déclare:

            "Votre anniversaire tombe le premier 1 août !" 

          1. Vérifier que pour une personne née le 1 août , le programme de

                calcul ( A ) donne effectivement le nombre 308.         

          2. a.  Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de

                 naissance, m le numéro de son mois de naissance et z le

                 résultat en appliquant le programme de calcul ( A ).

                 Exprimez  z en fonction de j et de m et démontrer que z et m

                 sont congrus modulo 12.

              b.  Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur

                ayant obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul ( A ) .                               

        Partie B

         Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer

         son programme de calcul ( B ).

          Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro

          du mois de naissance est m , le magicien demande de calculer

          le nombre z défini par z = 12 j + 31 m.

         Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant

         de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.

        1. Première méthode.

              On considère l'algorithme suivant:

Variables:            j et m sont des entiers naturels

Traitement :        Pour m allant de 1 à 12 faire:

                                    Pour j allant de 1 à 31 faire:

                                            z prend la valeur 12 j + 31 m 

                                            Afficher  z

                                    Fin pour

                           Fin pour                                                            

          Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de j et de

           m telles que 12 j + 31 m = 503.

     2. Deuxième méthode.

          a. Démontrer que 7 m et z ont le même reste dans la division euclidienne par 12.     

          b. Pour m variant de 1 et 12, donner le reste de la division euclidienne de 7 m par 12.


          c. En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503          

              avec le programme de calcul ( B ).             

      3. Troisième méthode.

        a. Démontrer que le couple ( − 2 ; 17 ) est solution de l'équation 12 x + 31 y = 503.             

        b. En déduire que , si un couple d'entiers relatifs ( x ; y ) est solution de l'équation 

             12 x + 31 y = 503 , alors   12 ( x + 2 ) = 31 ( 17 − y ) .

        c. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs  ( x ; y ) ,

              solution de 12 x + 31 y = 503.

        d . Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs ( x ; y )

              tel que 1 ≤ y ≤12.

            En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre

            503 avec le programme de calcul ( B).                   

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