FEUILLE 2 D' EX. NOMBRES COMPLEXES 20 SEPT. 2010
EX 1 .
Soit le polynôme P( z ) = z3 + 3 z2 + 3 z - 63 où z est un nombre complexe.
1. Montrer que 3 est une racine réelle.
2. En déduire trois nombres réels a , b , c tels que :
P( z ) = ( z - 3 ) ( a z2 + b z + c ) pour tout nombre complexe z.
3 . Résoudre l'équation P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
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Réponse:
1. Vérifions que P( 3 ) = 0 .
On a : P( 3 ) = 33 + 3 × 32 + 3× 3 - 63
c-à-d P( 3 ) = 27 + 27 + 9 - 63 = 63 - 63 = 0
Conclusion : Oui. 3 est une racine réelle de P(z )
2. En conséquence P( z ) est factorisable par ( z - 3 ).
Divisons P( z ) par z - 3 pour z distinct de 3.
| z3 + 3 z2 + 3 z - 63 | | z - 3 |
| - ( z3 - 3 z2 ) | | z² + 6z + 21 |
| ------------------ | | |
| 6 z² + 3 z - 63 | | |
| - ( 6 z² - 18 z ) | | |
| ----------------- | | |
| 21 z - 63 | | |
| - ( 21 z - 63 ) | | |
| ------------------- | | |
| 0 | | |
Le reste est nul.
Ainsi:
z3 + 3 z2 + 3 z - 63 = ( z - 3 ) ( z² + 6 z + 21 ) pour tout nombre complexe z .
c'est-à-dire
P( z ) = ( z - 3 ) ( z² + 6 z + 21 ) pour tout nombre complexe z .
Conclusion : a = 1 b = 6 c = 21
3. Résolvons P( z ) = 0.
c-à-d ( z - 3 ) ( z² + 6 z + 21 ) = 0
c-à-d z = 3 ou z² + 6 z + 21 = 0
Faisons la résolution de z² + 6 z + 21 = 0
a = 1 b ' = 3 c = 21
Considérons le discriminant simplifié : Δ' = b ' ² - ac
c-à-d Δ' = 3² - 21 = 9 - 21= - 12 = ( i √12 )²
Deux solutions :
( - b ' - i √| Δ' | ) / a = - 3 - i √12
( - b ' + i √| Δ' | ) / a = - 3 +i √12
Conclusion : S = { 3 ; - 3 - i √12 ; - 3 + i √12 }
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