TEST 5 10 janvier 2017

               TEST     du mardi 10 janvier 2017              Spé maths.

   EXERCICE 

                 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

    On pourra utiliser le résultat suivant dans la partie B:

     <<  Soit m,n,p des entiers relatifs avec m non nul.

    Si  m divise le produit np et que le plus grand commun diviseur de m et n est 1 alors m divise p   >>

        Les parties A , B  et C sont indépendantes.

     Partie A          (  diviseurs )

         1.  On pose:   a = n + 1   et  b = n    où  n un entier naturel non nul quelconque.

            a. Calculer a − b. 

            b. Si un entier naturel, non nul, d divise a et b alors que peut-on dire de d ?

            c. Quel est donc le plus grand commun diviseur de a et b ?

       2. Soit   A = 2 n 3  + 5 n2  + 4 n + 1    et   B = 2 n2  + n  

                  où  n un entier naturel non nul quelconque.

           a. Montrer que 2 n + 1  divise A et B.  ( On pourra poser la division de A par 2 n + 1.)

           b.  n peut-il diviser A ? n divise-t-il  B ?

           c. Donner les formes factorisées de A et B.

      Partie B     (   congruences   )

        Pour chacune des trois affirmations suivantes indiquer ( en justifiant )

        si elle est vraie ou fausse.

        Soit n un entier relatif.

       1.       n ≡ 1  [ 5 ]   ⇒    n + 47 ≡ 1 + 47  [ 5 ]

       2.       (   n ≡ 1  [ 5 ]  et  n ≡ 3  [ 4 ]   ) ⇒ (  n − 11 ≡ 0  [ 5 ]   et n − 11 ≡ 0  [ 4 ]  )

       3.       (   n ≡ 1  [ 5 ]  et  n ≡ 3  [ 4 ]   ) ⇒ (  ∃ k ∈ ℤ    /     n = 11 + 20 k )

     Partie C        ( graphes probabilistes  )

           Un automate peut se trouver dans deux états A ou B.

          A chaque seconde, il peut, soit rester où il se trouve, soit en changer,

          avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous.

          Pour tout entier naturel n , on note an la probabilité que l'automate se trouve

         dans l'état A après n secondes et bn la probabilité que l'automate

         se trouve dans l'état B après n secondes.

          Au départ l'automate est dans l'état B.

            Lyon45

        On considère l'algorithme suivant:

        Lyon46

     Pour chacune des deux affirmations suivantes indiquer ( en justifiant )

     si elle est vraie ou fausse.

           1. En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10 .

           2. Après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans

               l'état A que d'être dans l'état B.

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