AIDE 1 DV n° 7 1S 27 mars 10

        AIDE  1       DV n ° 7    1S1    pour le 27 mars 2010  

           EXERCICE 1  

                 Le plan est muni d'un repère orthonormal

                   .

                  ( Unité graphique : 1 cm )

                Soit la fonction f : x  → ( x² - 3 x ) / ( x + 1 )   définie dans IR- { - 1 }.

                Soit C sa courbe représentative.

              1. Trouver sa fonction dérivée f '.

                  Utiliser le formule ( u / v )' = ( v u ' - u v ' ) / v²

                 avec u : x  →  x² - 3 x      et   v : x →  x + 1   .

                Il faut impérativement  indiquer que u et v sont définies et dérivables

                sur IR - { - 1 } avec v non nulle sur IR - { - 1 }.

              2. Donner le signe de f '( x )  suivant x dans  IR- { - 1 }.

                 f '( x ) est un quotient dont le dénominateur est strictement positif

                pour tout x dans  IR - { - 1 }. C'est donc le signe du numérateur qu'il faut étudier.          

              3. Dresser le tableau de variation de f.               

x          - ∞           -1         + ∞                                              
f '(x)                     ||
f( x )                     ||

                  Il doit comporter trois lignes.

                             •  Une ligne pour x.

                             •   Une ligne pour le signe de f '( x ).

                              •  Une ligne pour les variations de f( x ).

              4. a. Déterminer  f( x ) - ( x - 4 ) pour tout x dans IR.

                    On peut utiliser d'abord la division           

x² - 3 x  |  x + 1
|
|

                     ou faire une réduction au même dénominateur.

 

                 b. Montrer que  lim (  f( x ) - ( x - 4 ) )  = 0                       

                                          x  → + ∞

                      Que peut-on en déduire pour la courbe ( C ) de f  en  + ∞ ?

                  Penser aux asymptotes obliques.

                 c.Tracer la courbe ( C ) de f  ainsi que les droites D: y = x - 4  et

                     D ' : x = - 1 dans le même repère.

                     Les deux droites D et D ' sont deux asymptotes pour la courbe de f.

                    Il est impératif de les tracer même quand ce n'est pas demandé.

                    En effet la courbe s'en rapproche. C'est donc une précieuse indication.

               5. Donner une équation de la tangente T à ( C )  au point d'abscisse 2.

                      y = f ' (a ) ( x - a )+ f( a ) peut être utilisée  avec a = 2.

               6. Soit K le point d'intersection des droites D et D '.

                    Considérer le système des deux équations des deux droites D et D '

                    pour obtenir les coordonnées de K.

                a. Donner la nouvelle équation de ( C ) dans le nouveau repère

                   .

                          Dans le repère d'origne O l'équation de  ( C  ) est  y = f( x ).

                          Dans le nouveau repère d'origine K l'équation de ( C ) sera Y = g( X ).

                            Remplacer x et y dans  y = f( x )  à l'aide des formules de changement de repère:

                               x = xK   + X

                               y =  yK   + Y

                 On la notera Y = g( X ) pour X non nul.

                b. Etudier la parité de la fonction g.

                     g est-elle impaire? 

                     c-à-d  

                    A-t-on:    IR* centré en 0 et  g( - X ) = - g ( X ) pour tout  x dans  IR*   ?

                    En déduire une particularité de la courbe ( C ) de g.

                     Que peut alors dire du point K ?

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