EXERCICES DE NUMERATION

                                         EXERCICES DE NUMERATION                SEPT     2011                   BTS1

       EXERCICE 1.

                       Soit l'entier   N =  a an - 1 ........a1 a0      écrit dans le système binaire .

                        On a :

                        N = an 2n + an - 1 2n - 1  + .......+ a1 2+ a2

                       les cœfficients étant des 0 ou 1.                   

                 1. Que peut-on dire de l'écriture de 2 x N ?

                 2. Quand N est pair c-à-d   a0  = 0 que peut-on dire de l'écriture de N / 2 ?

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    Réponse:

                1. On a :

                        2xN = ( a an - 1 ........a1 a0 0 )2     

                   On rajoute à droite de l'écriture de N un zéro.

                    En effet :

                         N = an 2n + an - 1 2n - 1  + .......+ a1 2+ a2

                     2 x N = an 2n + 1 + an - 1 2n   + .......+ a1 2+ a2

     c-à-d        2 x N = an 2n + 1 + an - 1 2n   + .......+ a1 2+ a21  + 0 x 20

                       Donc     2x N = ( a an - 1 ........a1 a0 0 )2     

                      Par exemple:

                          N = (  11111 )2

                      Alors     2x N  =  (  111110 )2

               2.     Soit N pair   c-à-d  a0  = 0.              

                         N / 2 = ( a an - 1 ........a1  )2     

                       Si N = 0 alors   N / 2 =(  0  )2 

                       Si N  ≠ 0 alors on retire le terme a0  qui est nul de l'écriture binaire de N.

                   En effet:

                  •Soit  N non nul et pair on a :     N = ( a an - 1 ........a1 0 )  et  a1 ≠ 0                    

                     On a :     N = an 2n + an - 1 2n - 1  + .......+ a1 2  

                       Ainsi :   N / 2 = an 2n - 1 + an - 1 2n - 2  + .......+ a1 20  

                      L'écriture de n / 2  est   ( a an - 1 ........a1  )2     

                      •Soit  N  nul.   

                        On a :   N = ( 0 )2

                       Ainsi      N / 2 = N

                            L'écriture de N est aussi celle de N / 2 .

           Par exemple:

              Soit N = 10110   en binaire

              Alors N / 2  = 1011  en binaire

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              EXERCICE 2.

                    Soit les entiers  n = 11010111         et  n' = 100101  en binaire.

                    Trouver n + n'

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                 1 + 1 + 1 = 10+ 1 = 11                  

retenues 1 1 1
n 1 1 0 1 0 1 1 1
n ' 1 0 0 1 0 1
n + n' 1 1 1 1 1 1 0 0

         Conclusion  n + n '  = 11111100    en binaire

              Vérification en système décimal.

                          ( 11010111  )2 = 215     en décimal

                          ( 100101 )2   = 37        en décimal

      ( 11010111  )2   +    ( 100101 )2   = 215 + 37 = 252

                      Or   252 = ( 11111100)2

        Donc     ( 11010111  )  +    ( 100101 )2  = ( 11111100)2

            Le résultat est donc confirmé.

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             EXERCICE 3

             Calculer  11 + 1  en binaire          

                     1

                     11

             +        1

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                    100

               Conclusion:     11 + 1 = 100

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