INFO DS n° 9 1S1 26 MAI 2010

              INFO   NOM:                     PRENOM:                   DATE   26   MAI   2010               1S1

            Soit la fonction   f : x →  ( 2 x - 3 ) / ( x - 2 )    définie sur IR - { 2 }.

              Le plan est muni d'un repère orthonormal.

              ( Unité graphique: 1 cm )

            • • Déterminer le sens de variation de la fonction f.

               f est une fonction rationnelle. Elle est donc dérivable sur son

              domaine de définition IR - { 2 }.

               On peut dériver f à l'aide de la formule

                ( u / v )' = ( v u ' - u v ' ) / v².

             On peut aussi procéder comme ci dessous:

             Soit x ≠ 2.

             On a:  f( x ) = ( 2x - 4 + 4  - 3 )/ ( x - 2 )

             c-à-d     f( x ) =  [ 2 ( x - 2 ) + 1 ] /  ( x - 2 )

             c-à-d      f( x ) =  2  +  1 / ( x - 2 )

            Comme la fonction affine v : x → x - 2  est définie ,

            dérivable et non nulle sur IR - { 2 } , la fonction 1 / v 

            est définie  et dérivable sur IR - { 2 }.

            Ainsi la fonction   2 +  1 / v  

            c-à-d   f   , est bien définie et dérivable  dans IR - { 2 }.

            On a :         v ' : x  → 1

                et         ( 1 / v ) ' = - v ' / v²

            D'où    f ' = - v ' / v²

            Ainsi     f '( x ) = - 1 / ( x - 2 )²     pour tout x dans IR - { 2 }.

           Comme - 1 < 0  et  ( x - 2 )² > 0   pour tout x dans IR - { 2 }

           on a  f ' ( x ) <  0    pour tout x dans IR - { 2 }.

        Cela permet de conclure :

    Conclusion : La fonction f est décroissante sur les intervalles de  IR - { 2 }

  

x  - ∞                                     2                                           + ∞
f '( x )                    -                       ||      -                            
f(x )                      ↓                      ||                           ↓                  

          • • Soit ( C ) la courbe de la fonction

              Trouver la limite de f en  + ∞.

              Montrer que ( C ) admet une asymptote horizontale D en + ∞.

              f est une fonction rationnelle définie sur  IR - { 2 }.

              + ∞ est bien une extrémité d'un intervalle de IR - { 2 }.

               On peut chercher la limite de f  en  + ∞ .

               Soit x > 2.

               Le quotient simplifié de ses termes de plus haut degré est :

                      2 x / x = 2

              Ainsi:           lim f  = 2

                                x →  + ∞       

              Conclusion : La  courbe ( C )  de la fonction f   admet la droite

                              D: y = 2   comme  asymptote horizontale en + ∞

                •    Etablir que ( C ) admet une asymptote verticale.

                       2 est bien une extrémité des deux intervalles du domaine

                       de définition.

                       On peut donc faire tendre x vers 2 par la droite et par la gauche.

                lim (  2 x - 3 ) /( x - 2 )  = 1 / 0-   =  - ∞  

                x →  2- 

       et        lim(  2 x - 3 ) /( x - 2 )  = 1 / 0+   =  +∞  

                  x →  2+ 

       c-à-d    

                     lim  f( x )   =  - ∞  

                       →  2 - 

          et         lim  f( x )   =  +∞  

                       →  2+ 

          Conclusion : La  courbe ( C )  de la fonction f   admet la droite 

                              D'' : x = 2    comme asymptote verticale .

 

 

 

 

 

 

           Soit la suite ( u ) de terme général :

                                   

                 pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3.

             • • Quel est son sens de variation?

                   La restriction de la fonction f à IN - { 0 ; 1 ; 2 } 

                   est une suite décroissante. C'est la suite ( u ).

                    Donc:

       Conclusion : La  suite (  u ) est donc décroissante sur  IN - { 0 ; 1 ; 2 }

              • • Calculer u3   , u4  , u5   .

           On a :     u3 = ( 2 × 3 - 3 ) / (  3 - 2 ) = 3

                          u4    =  ( 2 × 4 - 3 ) / (  4 - 2 ) = 5 / 2             

                          u5   =  ( 2 × 5 - 3 ) / (  5 - 2 ) = 7 / 3 

             Conclusion :    u3 = 3       ,     u4  =   5 /2      ,     u5   =   7 / 3 

              • • Représenter la courbe (  C ) sur ] 2 , + ∞ [ et la droite D' : y =x .

                    Soit la suite récurrente ( v )  telle que :

                     v3 = 4     et   vn + 1  = fvn  )

                    pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3.    

                    A l'aide d'un WEB placer les premiers termes de la suite ( v )

                    sur l'axe des abscisses.

                                                  

                        On constate que la suite ( v ) prend alternativement les valeurs 4 et 2,5.

                         On conjecture qu'elle  n'aura pas de limite.

                 • •  On pose  wn   =  ( n - 2 ) un   pour tout entier n supérieur ou égal à  3.

                        La suite ( w ) est-elle arithmétique? géométrique?

                        quelconque?

                 Soit n dans IN - {  0 ; 1 ; 2 }  quelconque :

                 On a :   wn   =  ( n - 2 ) un  

                 Or un  = ( 2 n - 3 ) / ( n - 2 )

                 D'où    wn   =  ( n - 2 )( 2 n - 3 ) / ( n - 2 ) = 2n - 3

                 c-à-d       wn   =   2n - 3

                On a :   wn + 1   -   wn   = 2( n  + 1 ) - 3  - [    2n - 3 ]

                Ainsi:        wn + 1   -   wn   = 2  n + 2 -  3 - 2 n + 3 = 2

                                    wn + 1   -   wn   = 2     pour tout n  Dans IN-{ 1  ; 2 ;3 ; }

            Conclusion:   La suite ( w ) est arithmétique de raison 2 et       

                                  de premier terme w3 = 3  

             • • Calculer  w3  + w4  + .........+ w12 .

                  La somme comporte 10 termes.

                  Comme la suite ( w )  est arithmétique on a:

                     w3  + w4  + ...............+ w12  = 10  [ (   w3  + w12 ) / 2  ]

                     Or              w3 = 2 ( 3 ) - 3 = 3   

                     et             w12  =   2( 12) - 3   = 24 - 3 = 21

               On a donc :   

                          w3  + w4  + ...............+ w12  = 10 [ ( + 21     ) / 2 ]  = 120

                         Conclusion:          w3  + w4  + ...............+ w12  = 120 

               • • Donner   lim wn 

                                  n → + ∞ 

                   La raison  de la suite arithmétique ( w ) est    r = 2.

                        r > 0.

                     Donc:         lim wn   = + ∞ 

                                        n → + ∞  

             Conclusion:    La suite ( w ) diverge vers    + ∞ 

                       lim wn     = + ∞   

                     n → + ∞ 

             Soit la suite ( t )définie sur IN- { 0 ; 1 ; 2 } telle que :

                             tn = ( 2n + 1   -  3 ) / (   2n  - 2 )

                    Montrer que :

                           tn =  2   + 1 / (   2n  - 2 )    

                    pour tout entier  n supérieur ou égal à 3.

                Soit n  un entier supérieur ou égal à 3.

                  Ainsi    2n   n'est pas égal à 2.

.                On constate que:    tn = ( 2 (  2n  )  - 3 ) / (  (  2n  ) - 2 )

                          c-à-d              tn f (    2n   )

.                   Or           f ( x ) = 2 +  1 / ( x - 2 )   pour tout x dans IR - { 2 }.

                      Donc :

                      tn =  2   + 1 / (   2n  - 2 )    

                    pour tout entier  n supérieur ou égal à 3.

Conclusion:      tn =  2   + 1 / (   2n  - 2 )     pour tout entier  n supérieur ou égal à 3.

                    En déduire la limite de la suite  ( t ) .

                On a :    2 > 1 

                 Donc     lim 2n    = + ∞ 

                                  n → + ∞      

                 Ainsi :      lim (  2   +  1 / (   2n  - 2 ) ) =   2  +   1 /  + ∞  

                                     n → + ∞      

                c-à-d       lim (  2   +  1 / (   2n  - 2 ) )   = 2  + 0  = 2

                                 n → + ∞ 

                   c-à-d 

                             lim tn     = 2   

                              n → + ∞  

                    Conclusion:     lim tn = 2                             

                                             n → + ∞