INFO NOM: PRENOM: DATE 26 MAI 2010 1S1
• Soit la fonction f : x → ( 2 x - 3 ) / ( x - 2 ) définie sur IR - { 2 }.
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
( Unité graphique: 1 cm )
• • Déterminer le sens de variation de la fonction f.
f est une fonction rationnelle. Elle est donc dérivable sur son
domaine de définition IR - { 2 }.
On peut dériver f à l'aide de la formule
( u / v )' = ( v u ' - u v ' ) / v².
On peut aussi procéder comme ci dessous:
Soit x ≠ 2.
On a: f( x ) = ( 2x - 4 + 4 - 3 )/ ( x - 2 )
c-à-d f( x ) = [ 2 ( x - 2 ) + 1 ] / ( x - 2 )
c-à-d f( x ) = 2 + 1 / ( x - 2 )
Comme la fonction affine v : x → x - 2 est définie ,
dérivable et non nulle sur IR - { 2 } , la fonction 1 / v
est définie et dérivable sur IR - { 2 }.
Ainsi la fonction 2 + 1 / v
c-à-d f , est bien définie et dérivable dans IR - { 2 }.
On a : v ' : x → 1
et ( 1 / v ) ' = - v ' / v²
D'où f ' = - v ' / v²
Ainsi f '( x ) = - 1 / ( x - 2 )² pour tout x dans IR - { 2 }.
Comme - 1 < 0 et ( x - 2 )² > 0 pour tout x dans IR - { 2 }
on a f ' ( x ) < 0 pour tout x dans IR - { 2 }.
Cela permet de conclure :
Conclusion : La fonction f est décroissante sur les intervalles de IR - { 2 }
x
- ∞ 2 + ∞
f '( x )
- || -
f(x )
↓ || ↓
• • Soit ( C ) la courbe de la fonction .
Trouver la limite de f en + ∞.
Montrer que ( C ) admet une asymptote horizontale D en + ∞.
f est une fonction rationnelle définie sur IR - { 2 }.
+ ∞ est bien une extrémité d'un intervalle de IR - { 2 }.
On peut chercher la limite de f en + ∞ .
Soit x > 2.
Le quotient simplifié de ses termes de plus haut degré est :
2 x / x = 2
Ainsi: lim f = 2
x → + ∞
Conclusion : La courbe ( C ) de la fonction f admet la droite
D: y = 2 comme asymptote horizontale en + ∞
• • Etablir que ( C ) admet une asymptote verticale.
2 est bien une extrémité des deux intervalles du domaine
de définition.
On peut donc faire tendre x vers 2 par la droite et par la gauche.
lim ( 2 x - 3 ) /( x - 2 ) = 1 / 0- = - ∞
x → 2-
et lim( 2 x - 3 ) /( x - 2 ) = 1 / 0+ = +∞
x → 2+ c-à-d lim f( x ) = - ∞ x → 2 - et lim f( x ) = +∞ x → 2+ Conclusion : La courbe ( C ) de la fonction f admet la droite
D'' : x = 2 comme asymptote verticale .
• Soit la suite ( u ) de terme général :
pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3.
• • Quel est son sens de variation?
La restriction de la fonction f à IN - { 0 ; 1 ; 2 }
est une suite décroissante. C'est la suite ( u ).
Donc:
Conclusion : La suite ( u ) est donc décroissante sur IN - { 0 ; 1 ; 2 }
• • Calculer u3 , u4 , u5 .
On a : u3 = ( 2 × 3 - 3 ) / ( 3 - 2 ) = 3
u4 = ( 2 × 4 - 3 ) / ( 4 - 2 ) = 5 / 2
u5 = ( 2 × 5 - 3 ) / ( 5 - 2 ) = 7 / 3
Conclusion : u3 = 3 , u4 = 5 /2 , u5 = 7 / 3
• • Représenter la courbe ( C ) sur ] 2 , + ∞ [ et la droite D' : y =x .
Soit la suite récurrente ( v ) telle que :
v3 = 4 et vn + 1 = f ( vn )
pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3.
A l'aide d'un WEB placer les premiers termes de la suite ( v )
sur l'axe des abscisses.
On constate que la suite ( v ) prend alternativement les valeurs 4 et 2,5.
On conjecture qu'elle n'aura pas de limite.
• • On pose wn = ( n - 2 ) un pour tout entier n supérieur ou égal à 3.
La suite ( w ) est-elle arithmétique? géométrique?
quelconque?
Soit n dans IN - { 0 ; 1 ; 2 } quelconque :
On a : wn = ( n - 2 ) un
Or un = ( 2 n - 3 ) / ( n - 2 )
D'où wn = ( n - 2 )( 2 n - 3 ) / ( n - 2 ) = 2n - 3
c-à-d wn = 2n - 3
On a : wn + 1 - wn = 2( n + 1 ) - 3 - [ 2n - 3 ]
Ainsi: wn + 1 - wn = 2 n + 2 - 3 - 2 n + 3 = 2
wn + 1 - wn = 2 pour tout n Dans IN-{ 1 ; 2 ;3 ; }
Conclusion: La suite ( w ) est arithmétique de raison 2 et
de premier terme w3 = 3
• • Calculer w3 + w4 + .........+ w12 .
La somme comporte 10 termes.
Comme la suite ( w ) est arithmétique on a:
w3 + w4 + ...............+ w12 = 10 [ ( w3 + w12 ) / 2 ]
Or w3 = 2 ( 3 ) - 3 = 3
et w12 = 2( 12) - 3 = 24 - 3 = 21
On a donc :
w3 + w4 + ...............+ w12 = 10 [ ( 3 + 21 ) / 2 ] = 120
Conclusion: w3 + w4 + ...............+ w12 = 120
• • Donner lim wn
n → + ∞
La raison de la suite arithmétique ( w ) est r = 2.
r > 0.
Donc: lim wn = + ∞
n → + ∞
Conclusion: La suite ( w ) diverge vers + ∞
lim wn = + ∞
n → + ∞
• Soit la suite ( t )définie sur IN- { 0 ; 1 ; 2 } telle que :
tn = ( 2n + 1 - 3 ) / ( 2n - 2 )
• • Montrer que :
tn = 2 + 1 / ( 2n - 2 )
pour tout entier n supérieur ou égal à 3.
Soit n un entier supérieur ou égal à 3.
Ainsi 2n n'est pas égal à 2.
. On constate que: tn = ( 2 ( 2n ) - 3 ) / ( ( 2n ) - 2 )
c-à-d tn = f ( 2n )
. Or f ( x ) = 2 + 1 / ( x - 2 ) pour tout x dans IR - { 2 }.
Donc :
tn = 2 + 1 / ( 2n - 2 )
pour tout entier n supérieur ou égal à 3.
Conclusion: tn = 2 + 1 / ( 2n - 2 ) pour tout entier n supérieur ou égal à 3.
• • En déduire la limite de la suite ( t ) .
On a : 2 > 1
Donc lim 2n = + ∞
n → + ∞
Ainsi : lim ( 2 + 1 / ( 2n - 2 ) ) = 2 + 1 / + ∞
n → + ∞
c-à-d lim ( 2 + 1 / ( 2n - 2 ) ) = 2 + 0 = 2
n → + ∞
c-à-d
lim tn = 2
n → + ∞
Conclusion: lim tn = 2
n → + ∞