INFO. DS1 BTS1 24 OCT. 2008
EX. 1 1 .a Traduisons la proposition : 2 x - 1 < 0 => 3 - x =< o où
x est dans IR.
Elle s'écrit: Non( 2 x - 1 < 0 ) ou ( 3 - x =< 0 )
c-à-d 2 x -1 >= 0 ou 3 - x =< 0
Conclusion: x >= 1 / 2 ou 3 =< x .
b. Résolvons 2 x - 1 < 0 => 3 - x =< o dans IR.
x >= 1 / 2 ou 3 =< x
se traduit par seulement x >= 1 / 2 .
Conclusion: SIR = ] 1 / 2 , + ∞ [.
2. Soit l'affirmation : Pour tout x dans IR , ( 1 - 3 x ) ( 5 x + 2 ) > 0.
Regardons si elle est vraie ou fausse.
Elle est fausse. En effet .
Contre exemple. Pour x = 1 / 3 le facteur 1 - 3 x est nul.
Ainsi ( 1 - 3 x ) ( 5 x + 2 ) = 0.
On n'a pas ( 1 - 3 x ) ( 5 x + 2 ) > 0.
Conclusion : Elle est fausse
IL N'EST PAS NECESSAIRE DE RESOUDRE L'INEQUATION.
Si malgré tout vous le faites alors on peut écrire:
En factorisant - 3 et 5 dans ( 1 - 3 x ) ( 5 x + 2 ) il vient.
( 1 - 3 x ) ( 5 x + 2 ) = - 15 ( x - ( 1 / 3) ) ( x - ( - 2 / 5 ) )
C'est la forme factorisée d'un trinome du second degré dont le
coefficient de x² , a = - 15.
Ses racines sont visibles: 1 / 3 et - 2 / 5 .
Nous voulons qu'il soit du signe de - a c'est-à-dire positif.
Ainsi nous devons prendre x à l'intérieur des racines.
L'ensemble solution est donc SIR = ]- 2 / 5 , 1 / 3 [.
Ainsi pour un x qui n'est pas dans l'intervalle ] - 2 / 5 , 1 / 3 [
l'inégalité ( 1 - 3 x ) ( 5 x + 2 ) > 0 est fausse .
Elle n'est donc pas vraie pour tout x dans IR.
On retrouve le fait que l'affirmation n'est pas vraie.
3. Soit p la proposition:
a. Donnons la négation de la proposition p:
b. Regardons laquelle de p , Non p est vraie.
Non p est vraie.
En effet : x = n convient pour x sachant qu' un entier naturel
est dans IR+ .
4. Soit la fonction polynôme f : x → - 3 x5 + 5 x3 + 1 .
a. Donnons sa fonction dérivée f ' .
f comme fonction polynôme est définie et dérivable dans IR.
On a : f ' : x → - 3 × 5 x5 - 1 + 5×3 x3 - 1 .
Conclusion: f ' : x → - 15 x4 + 15 x2
b.Donnons le sens de variation de f.
Pour tout réel x on a: f ' ( x ) = 15 x2 ( - x2 + 1 )
f ' ( x ) = 0 ssi x = 0 ou x = 1 ou x =- 1
f ' ( x ) est du signe de - x2 + 1 .
On peut appliquer à - x2 + 1 la règle des signes d'un trinome du
second dégré.
Le coefficient de x2 est a = - 1 .
- x2 + 1 est du signe de a , c'est-à-dire négatif , à l'extérieur des racines - 1 et 1.
- x2 + 1 est du signe de -a , c'est-à-dire positif , à l'intérieur des racines - 1 et 1 .
Ainsi :
x
- ∞ - 1 0 1 + ∞
x2
+ 0 +
- x2 + 1
- 0 + 0 -
f ' ( x )
- 0 + 0 + 0 -
f( x )
↓ -1 ↑ 3 ↓
f est strictement décroissante sur les intervalles ] - ∞ , - 1 ] et [ 1 , + ∞ [.
f est strictement croissante sur l'intervalle [ - 1 , 1 ] .
5. Soit p , q deux propositions. Comparons les propositions suivantes:
Non( Non( p) ET Non(q ) ) , Non( p ) => q.
Elles sont équivalentes chacune à p ou q . En effet :
• Non( p ) => q s'écrit Non( Non( p ) ) ou q c-à-d p ou q
• Non( Non( p ) ET Non( q ) ) s'écrit Non( Non( p )) ou Non (Non( q )),
d'après les lois de Morgan, c-à-d p ou q .