FEUILLE 4 D'EX. V.A. CONTINUES

              FEUILLE n° 4   D'EXERCICES SUR LES V.A. CONTINUES     TS   Avril 2013

      EXERCICE 1

         Soit X une variable aléatoire  continue sur  ] - ∞ , + ∞ [  de loi de probabilité 

          de fonction de densité de probabilité :

                           φ : t → ( 1 / √(2π)  ) e- t ² / 2             sur    ] - ∞ , + ∞ [

                       info8.png

                         ( Courbe dite de GAUSS en forme de cloche ) )

              On dit que X est de loi normale centrée réduite de type   N( 0 ; )  )

             On sait que l'espérance est  E( X ) = 0   et   l'écart type est σ ( X ) =

             (  Noter que dans certains ouvrages le second paramètre est V(X) =  σ² ( X ) )

                     Calculer à l'aide de la calculatrice P( - 1 < X < 2 )  

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              REPONSE:

                  Aucune expression de primitive de φ n'est disponible

                  c'est donc,  soit à la calculatrice,  soit à l'aide d'une table

                     " de loi normale" que l'on calcule

                         P( a < X < b )

                    où a et b sont des réels  avec a ≤ b.

                     On note:                     

                                   Pour tout réel a on écrit :

                                        info9.png 

                              c'est l'aire en u . a sous la courbe de φ  sur ] - ∞ , a ] .

                             info10-2.png                                

                          Ainsi     P( a < X < b ) = P( X < b ) - P( X < a ) =   ∏( b ) - ∏(a)

                              ( Les inégalités sont aussi bien strictes que larges car 

                                    X est une v.a continue sur IR.     )

                                P( a < X < b )   est  en  u.a   l'aire sous la courbe de φ  sur [  a , b ] .   

                           info11.png

                  Voir sur le site:

                    http://www.mathemaths.com/pages/tables/table-de-loi-normale.html

                         Sur TI 84

                  2ND       VARS        pour avoir accès à DISTR   

                    normalcdf(       puis - 1 , 2  )

                   ENTER    

            On obtient: 0,818595

                         Conclusion:     P( - 1 < X < 2 )   0,818595

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                  EXERCICE 2

         Soit X une variable aléatoire continue sur IR de loi normale N ( μ ; σ2  )

                où       μ = E( X ) = 5      et     σ = 2.

             (  La lettre m remplace parfois la lettre μ pour dire " la moyenne" )

              (   σ2     est la variance V( X )   )

              La fonction densité de probabilité de X est:

                           info13-1.png

                    info15.png

             1. X est-elle de loi normale centrée réduite?

             2. Quelle variable aléatoire Z de loi normale centrée réduite 

                        considère-t-on systématiquement dans ce cas ?

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       REPONSE:

     1. Regardons si X est de loi normale centrée réduite?

              Non.

                En effet :

                   • Déjà  E(X) ≠ 0   est une raison suffisante.

                  • D'autre part σ ≠ 1   est aussi une raison suffisante.    

                    Conclusion:    

                          X n'est pas de loi normale N( 0 ; 1 )

                         c-à-d  X  n'est pas de loi normale centrée réduite.

      2.  Donnons la variable aléatoire Z de loi normale centrée réduite

            que l'on considère.

             Pour centrer et réduire X  on considère :   ( X - E( X ) ) / σ

             Donc on pose:           Z = ( X - E( X ) ) / σ

             c-à-d   si l'on note μ = E( X ) :

                    Conclusion: 

                     On considère:          Z = ( X - μ) / σ

       Explications complémentaires:

           Rappel pour une variable aléatoire X :

              info12-2.png

               On a ici :  

 •  E( Z ) =  E( ( X - μ ) / σ ) = ( 1 /  σ ) × E(  X - μ )  

  c-à-d

   E( Z ) = ( 1 /  σ ) × ( E( X ) - E(  μ ) )( 1 /  σ ) × ( μ -  μ ) = 0

    Donc   E( Z ) = 0

    • De plus on a:

      V( Z ) = V( ( X - μ ) / σ ) =  ( 1 /  σ )  V(   X - μ ) 

   Donc

      V(Z) =  ( 1 /  σ  ) × V( X ) = (1 / V( X ) ) × V( X ) = V( X ) / V( X ) = 1

  c-à-d

   V( Z ) = 1

 c-à-d

   σ(Z ) = 1        

                        Z est bien centrée réduite.

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      EXERCICE 3

       Soit X une variable aléatoire continue sur IR de loi normale

       N ( 0 ; 1 ).

        Soit   φ : t → ( 1 / √(2π)  ) e - t ² / 2             sur    ] - ∞ , + ∞ [

         sa fonction densité de probabilité.

          1. Que peut-on dire pour la parité de φ sur IR ?

             Que peut-on dire de la parité de la fonction t → t φ( t ) sur IR ?

          2. Pourquoi  P( X < 0 ) = P( X > 0 )= 0,5  ? ( On peut mettre des inégalités larges )

         3. Que peut-on dire de P( X < - u ) et de P( X > u ) pour tout réel positif u ?

              A-t-on   P( x < - u ) = 1 - P ( X < u )   pour tout réel positif u ?  

                         (  noté   ∏( - u ) = 1 - ∏( u )    pour tout réel positif u          

                  Il arrive avant le bac que la grande lettre ∏ soit remplacée par F 

                       appelée "fonction de répartition"  )   

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    REPONSE:     ( Les égalités trouvées sont disponibles pour les exercices)

   1. Parité de φ.

        •    φ est définie sur IR , intervalle centré en 0.

       • Soit t quelconque dans IR.

         φ( - t ) = ( 1 / √(2π)  ) e- ( - t )² / 2    =  ( 1 / √(2π)  ) e -  t ² / 2    =   φ( t )

        c-à-d

         φ( - t ) =  φ(  t )    pour tout réel t .

             Conclusion :    φ est paire

          En conséquence :

                    La fonction  t →   t φ( t ) est impaire

     2. Montrons que P ( X ≤ 0 ) = P ( X  ≥ 0 ) = 0,5

           La courbe de  φ dans le repère orthogonal admet l'axe

           des ordonnées comme axe de symétrie.

          φ est définie continue et positive sur IR.

         Donc l'aire sous la courbe  de φ  sur ] - ∞ , 0] est la même

          que celle sous la courbe de φ  sur [ 0 , + ∞ [.

             Ainsi :              P ( X ≤ 0 ) = P ( X ≥  0 )

              Mais:               P ( X ≤ 0 ) + P ( X  ≥ 0 ) = 1

            D'où: 

          Conclusion :    P ( X ≤ 0 ) = P ( X  ≥ 0 ) = 0,5

        3.• Montrons  P( X ≤ - u ) = P( X ≥ u ).

               Le raisonnement est analogue.

                  L'égalité résulte du fait que pour tout réel u ≥ 0,

                 l'aire sous la courbe de φ sur ] - ∞ , - u ] 

                 égale à l'aire sous la courbe de φ sur [ u , + ∞ [.

                       Conclusion :    P ( X ≤ - u ) = P ( X  ≥ u )   

                                                                  pour tout réel u ≥ 0

          • Montrons : P( x < - u ) = 1 - P ( X < u )   pour tout réel positif u .

                         info16.png         

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