FEUILLE n° 4 D'EXERCICES SUR LES V.A. CONTINUES TS Avril 2013
EXERCICE 1
Soit X une variable aléatoire continue sur ] - ∞ , + ∞ [ de loi de probabilité
de fonction de densité de probabilité :
φ : t → ( 1 / √(2π) ) e- t ² / 2 sur ] - ∞ , + ∞ [
( Courbe dite de GAUSS en forme de cloche ) )
On dit que X est de loi normale centrée réduite de type N( 0 ; 1 ) )
On sait que l'espérance est E( X ) = 0 et l'écart type est σ ( X ) = 1
( Noter que dans certains ouvrages le second paramètre est V(X) = σ² ( X ) )
Calculer à l'aide de la calculatrice P( - 1 < X < 2 )
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REPONSE:
Aucune expression de primitive de φ n'est disponible
c'est donc, soit à la calculatrice, soit à l'aide d'une table
" de loi normale" que l'on calcule
P( a < X < b )
où a et b sont des réels avec a ≤ b.
On note:
Pour tout réel a on écrit :
c'est l'aire en u . a sous la courbe de φ sur ] - ∞ , a ] .
Ainsi P( a < X < b ) = P( X < b ) - P( X < a ) = ∏( b ) - ∏(a)
( Les inégalités sont aussi bien strictes que larges car
X est une v.a continue sur IR. )
P( a < X < b ) est en u.a l'aire sous la courbe de φ sur [ a , b ] .
Voir sur le site:
http://www.mathemaths.com/pages/tables/table-de-loi-normale.html
Sur TI 84
2ND VARS pour avoir accès à DISTR
normalcdf( puis - 1 , 2 )
ENTER
On obtient: 0,818595
Conclusion: P( - 1 < X < 2 ) ≈ 0,818595
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EXERCICE 2
Soit X une variable aléatoire continue sur IR de loi normale N ( μ ; σ2 )
où μ = E( X ) = 5 et σ = 2.
( La lettre m remplace parfois la lettre μ pour dire " la moyenne" )
( σ2 est la variance V( X ) )
La fonction densité de probabilité de X est:
1. X est-elle de loi normale centrée réduite?
2. Quelle variable aléatoire Z de loi normale centrée réduite
considère-t-on systématiquement dans ce cas ?
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REPONSE:
1. Regardons si X est de loi normale centrée réduite?
Non.
En effet :
• Déjà E(X) ≠ 0 est une raison suffisante.
• D'autre part σ ≠ 1 est aussi une raison suffisante.
Conclusion:
X n'est pas de loi normale N( 0 ; 1 )
c-à-d X n'est pas de loi normale centrée réduite.
2. Donnons la variable aléatoire Z de loi normale centrée réduite
que l'on considère.
Pour centrer et réduire X on considère : ( X - E( X ) ) / σ
Donc on pose: Z = ( X - E( X ) ) / σ
c-à-d si l'on note μ = E( X ) :
Conclusion:
On considère: Z = ( X - μ) / σ
Explications complémentaires:
Rappel pour une variable aléatoire X :
On a ici :
• E( Z ) = E( ( X - μ ) / σ ) = ( 1 / σ ) × E( X - μ )
c-à-d
E( Z ) = ( 1 / σ ) × ( E( X ) - E( μ ) ) = ( 1 / σ ) × ( μ - μ ) = 0
Donc E( Z ) = 0
• De plus on a:
V( Z ) = V( ( X - μ ) / σ ) = ( 1 / σ )2 V( X - μ )
Donc
V(Z) = ( 1 / σ 2 ) × V( X ) = (1 / V( X ) ) × V( X ) = V( X ) / V( X ) = 1
c-à-d
V( Z ) = 1
c-à-d
σ(Z ) = 1
Z est bien centrée réduite.
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EXERCICE 3
Soit X une variable aléatoire continue sur IR de loi normale
N ( 0 ; 1 ).
Soit φ : t → ( 1 / √(2π) ) e - t ² / 2 sur ] - ∞ , + ∞ [
sa fonction densité de probabilité.
1. Que peut-on dire pour la parité de φ sur IR ?
Que peut-on dire de la parité de la fonction t → t φ( t ) sur IR ?
2. Pourquoi P( X < 0 ) = P( X > 0 )= 0,5 ? ( On peut mettre des inégalités larges )
3. Que peut-on dire de P( X < - u ) et de P( X > u ) pour tout réel positif u ?
A-t-on P( x < - u ) = 1 - P ( X < u ) pour tout réel positif u ?
( noté ∏( - u ) = 1 - ∏( u ) pour tout réel positif u
Il arrive avant le bac que la grande lettre ∏ soit remplacée par F
appelée "fonction de répartition" )
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REPONSE: ( Les égalités trouvées sont disponibles pour les exercices)
1. Parité de φ.
• φ est définie sur IR , intervalle centré en 0.
• Soit t quelconque dans IR.
φ( - t ) = ( 1 / √(2π) ) e- ( - t )² / 2 = ( 1 / √(2π) ) e - t ² / 2 = φ( t )
c-à-d
φ( - t ) = φ( t ) pour tout réel t .
Conclusion : φ est paire
En conséquence :
La fonction t → t φ( t ) est impaire
2. Montrons que P ( X ≤ 0 ) = P ( X ≥ 0 ) = 0,5
La courbe de φ dans le repère orthogonal admet l'axe
des ordonnées comme axe de symétrie.
φ est définie continue et positive sur IR.
Donc l'aire sous la courbe de φ sur ] - ∞ , 0] est la même
que celle sous la courbe de φ sur [ 0 , + ∞ [.
Ainsi :