INFO TEST EX 2 TS spé 31 janv. 2017

                             TEST    Spé math.   TS    31 janvier 2017

    EXERCICE 2             
           Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
    Partie A
            On considère les matrices M de la forme

               Po1 
           où a et b sont des nombres  entiers.
           Le nombre 3 a − 5 b  est appelé le déterminant de M.

             On le note det(M).
             Ainsi:    det(M) = 3 a − 5 b.

    1. Dans cette question on suppose que det(M) 6 = 0

        et on pose: 

             Po2

        Justifier que N est l’inverse de M.
              REPONSE:

                 Il suffit de vérifier que:    NM = MN = I

   Po3    

            Conclusion : N est bien la matrice inverse de M

     2. On considère l’équation (E) : det(M) = 3.
         On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a ; b) solutions de l’équation (E).
          a. Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).

                 REPONSE:

               Soit   a = 6  et  b = 3

             On a: :  

                  3 a − 5 b = 3 × 6 − 5 × 3 = 18 − 15  = 3

               Donc:             3 a − 5 b = 3 

          Conclusion: le couple (6 ; 3) est une solution de (E).
          b. Montrer que le couple d’entiers (a ; b) est solution de (E) si et seulement
                       si  3(a − 6) = 5(b − 3).

              REPONSE:

                 On sait que :    3 × 6 − 5 × 3 = 3    

             Donc :

                ( E ) c'est-à-dire     3 a − 5 b = 3 

            équivaut à la différence ( membre à membre )

                   3 a − 5 b − ( 3 × 6 − 5 × 3 ) = 3 −  3      

                              ( Méthode plus longue mais très utile pour les équivalences )

           c-à-d

                    3 a  −  3 × 6 +  5 × 3  − 5 b  +  5 × 3  = 0

             c-à-d    

                  3( a −  6 )   − 5 ( b − 3) =0

              c-à-d       3( a −  6 )  = 5 ( b − 3)

               Conclusion: On a bien l'équivalence

       Partie B
          1. On pose:

              Po4 
              En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.
            REPONSE:

               En  faisant a = 6 et b = 3  on a :  Q = M

                Det( Q ) =  3    non nul

                 Alors  N  donne  Q− 1​

                 Conclusion :

                    Po6

      2. Codage avec la matrice Q
            Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q

            on utilise la procédure ci-après :
               • Étape 1 : On associe au mot la matrice

                    Po7
             où x1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x2 l’entier

              correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

    
                •Étape 2 :    La matrice X est transformée en la matrice

                                      Po8
                                    telle que   Y = QX.
                • Étape 3 :    La matrice Y est transformée en la matrice

                                       Po10
                 telle que r1 est  le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division
                 euclidienne de y2 par 26.
                •  Étape 4 :

                 À la matrice R 
                 on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
                 Exemple : 

                      Po11

                      Le mot JE est codé en le mot OF.
                       Coder le mot DO.

               REPONSE:

                 Pour JE :    x1   = 9   et  x2 = 4

                 Donc :  

                   Po14

                On a :

                         r1 = 8   qui correspond à I

                    et  r2 = 5    qui correspond à F

                     Conclusion: DO est codé IF
             3. Procédure de décodage.
                 On conserve les mêmes notations que pour le codage.

                 Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que
                  Y = QX.

            a. Démontrer que 3X = 3Q− 1 Y  puis que
                 3 x1 ≡ 3 r1 − 3 r2   [26]
                3 x2 ≡ − 5 r1 + 6 r2   [26]

                REPONSE:

                  •  Pour l'égalité:

                      On a :     Y = QX   et Q est inversible

                   Donc      Q− 1 Y = Q− 1 Q X

                    c-à-d     comme    Q− 1 Q = I

                              Q− 1 Y = I X  = X   

                 D'où :      

                    Conclusion :   3   Q− 1 Y = 3 X 
               •  Traduisons cette information.

                     On a déjà :

                      Po15 

                   Or    y ≡ r1  [ 26 ]         × 3                   ×  − ​ 5 )

                            y ≡ r2  ​[ 26 ]        × (  − 3 )           × 6

                D'où :     3 y 1   − 3  y    ≡ 3 r− 3 r2    [ 26 ]  

                     et       − 5 y 1   + 6  y    ≡  − 5  r+ 6 3 r2    [ 26 ]  

                     En remplaçant les membres de gauche on obtient:

                Conclusion:

                 3 x1 ≡ 3 r1 − 3 r2 [26]
                3 x2 ≡ − 5 r1 + 6 r2 [26]

            b. En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que
               •  On a :     

                    9  × 3 = 27 = 1 + 26

                  Donc :       9  × 3  ≡  1  [ 26 ]

           • Multiplions par 9 les membres des deux congruences  vues dans le 3.a:

                         9 × 3 x≡ ​ ×( 3 r− 3 r2  )   [ 26 ]

                         9 × 3 x≡ ​ × ( − 5 r1 + 6 r2  )   [ 26 ]

                    c-à-d 

                                 9 × 3 x1     ≡ ​ × 3 r−  × 3 r2     [ 26 ]

                             9 × 3 x2  ≡ ​ − 45 r1 + 54 r2     [ 26 ]

                    Comme   9  × 3  ≡ 1  [ 26 ]  on a  de plus: 

                            9 × 3 x≡ ​x1   [ 26 ]

                            9 × 3 x≡ x  [ 26 ] 

                De plus :

                      ​ × 3 r1   ≡ ​r1   [ 26 ]

                     ​ × 3 r2   ≡ ​r2   [ 26 ]       D'où     × 3 r−  × 3 r2   ≡ ​  r−  r2     [ 26 ]     

              Ainsi :   x≡ ​  r−  r2     [ 26 ]           

                           x≡ ​  − 45 r1 + 54 r2     [ 26 ]

                 Mais    54 = 2  × 26 + 2

                            et      − 45 +  2 × 26 =   7 

                 Donc on obtient bien :

                    Conclusion

                  x1 ≡ r1 − r2 [26]
                  x2 ≡ 7r1 + 2r2 [26]
             c. Décoder le mot SG.  

                On  a  :    r1  =  18   et    r2 = 6 

             En reportant dans les deux congruences précédentes on obtient:

                  x1   ≡ 18 − 6 [ 26 ]    avec     0 ≤ x1 < 26

                  x2   ≡ 7 × 18 + 2× 6   [ 26 ]   avec     0 ≤ x2 < 26

                   c-à-d   

                       x1   ≡ 12 [ 26 ]           avec     0 ≤ x1 < 26

                        x2   ≡ 138   [ 26 ]         avec     0 ≤ x2 < 26

                Mais:      138 = 5 ×  26 + 8

                  Donc :  

                        x1   ≡ 12 [ 26 ]           avec     0 ≤ x1 < 26

                        x2   ≡ 8   [ 26 ]         avec     0 ≤ x2 < 26

                On a:             x1   = 12   et       x2  = 8

               Conclusion:    SG se décode en MI

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