PROJET : EPREUVE DEMATHEMATIQUES BTS1 19 Mars 2009 3 Heures
La calculatrice est autorisée. La clarté , le soin mis à rédiger de façon claire sans rature, l'encadrement
des résultats présentés , les marges respectées, les numéros des questions mis , ainsi que
les précisions demandées respectées pour les calculs, entreront pour 2 points sur 20.
• EXERCICE.1 6 POINTS
Soit les matrices M , I , X , Y respectivement égales à
| / -2 | -6 | 0 \ |
| | 2 | -2 | 0 | |
| \ 2 | 2 | 4 / |
| / 1 | 0 | 0 \ |
| | 0 | 1 | 0 | |
| \ 0 | 0 | 1 / |
| / x \ |
| | y | |
| \ z / |
| / a \ |
| | b | |
| \ c / |
où x , y , z , a , b , c sont des nombres réels.
On considère le système d'équations :
- 2x - 6 y = a
2x - 2y = b noté ( S )
2x + 2 y + 4 z = c
1. Montrer que résoudre le système ( S ) à trois inconnues x , y , z équivaut
à résoudre l'équation ( E ) : MX = Y , où l'inconnue est la matriceX.
2. a. Calculer M2 , M3 .
b. Exprimer M3 en fonction de I .
3. a. Montrer que : MX = Y équivaut à : X = ( 1 / 64 ) M² Y.
b. En déduire la résolution du système ( S ) .
c. Donner les solutions de ( S ) lorsque a = 1 , b = - 3 et c = 2.
• EXERCICE . 2 5 POINTS
Une "carte de fidélité " d'un magasin est attribuée à certaines catégories de familles.
Soit quatre variables booléennes m , a , r , c . On désigne par f une famille quelconque.
m = 1 si f est avec la mère au foyer sinon m = 0. ( m désigne m barre )
a = 1 si f a plus 5 enfants sinon a = 0. ( a désigne a barre )
r = 1 si f posède un revenu inférieur 9 000 euros par an sinon r = 0. ( r désigne r barre )
c = 1 si f peut obtenir la carte sinon c = 0.
1. Quelles sont les familles f pour lesquelles m. a . r = 1 ?
2. On admet que c = m. a + r . a + m . ( r + r . a ) .
a. Faire le tableau de Karnaugh de c.
b. En déduire une expression simplifiée de c.
c. Quelles sont les familles ne pouvant pas avoir la carte ?
3. Par le calcul booléen montrer que m. a + r . a + m . ( r + r . a ) = a + r + m .
Rappel: y + y . z = y et y + y . z = y + z où y , z sont des variables booléennes )
• EXERCICE . 3 7 POINTS
Partie A Recherche de fonctions dérivées.
1. Soit la fonction h: x→ ln( 0,2 x + 1 ) sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
Justifier que la fonction dérivée de la fonction h est h' : x→ 0, 2 / ( 0, 2 x + 1 ).
2. Soit la fonction affine g: x→ 4 x + 9 sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
Justifier que la fonction dérivée de la fonction g est g' : x→ 4.
3. On pose f( x ) = g( x ) - 20 h( x ) pour tout réel x positif.
Montrer que la fonction dérivée de f est la fonction f ' : x → 0, 8 x / ( 0, 2x + 1 ).
Donner le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
4. Calculer f( 10 ) et f( 20 ).
5. Soit la fonction affine k: x → - x - 9 sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
Justifier que la fonction dérivée de la fonction k est k' : x→ - 1.
6. On pose m( x ) = k( x ) + 20 h( x ) pour pour tout réel x positif.
a. Montrer que la fonction dérivée de la fonction m est
m' : x → ( - 0, 2 x + 3 ) / ( 0, 2 x + 1 )
Calculer m' ( 15 ) .
b. Justifier que m' ( x ) est du signe de - 0, 2 x + 3 pour tout x dans
l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
c. Donner le sens de variation de la fonction m sur l'intervalle [ 0 ; 40 ].
Calculer m( 0 ) , m( 15 ) et m( 40) à 10- 2 près .
Donner le tableau de variation de la fonction m sur l'intervalle [ 0 ; 40 ].
7 . Représenter la fonction m dans un repère orhonormal.
Unité graphique : 0,5 cm
On placera les points d'abscisses : 0 ; 5 ;10 ; 15 ; 20; 30 ; 40.
Partie B Etude de rentabilité
Une entreprise loue des machines.
Le coùt de fonctionnement hebdomadaire ( en centaines d'euros )
correspondant à la location de n machines est :
C( n ) = f( n ) pour tout entier naturel n .
Chaque machine est louée 3 centaines d'euros par semaine.
1. Combien rapporte la location de n machines par semaine en centaines d'euros?
2 . En déduire le bénéfice algébrique B( n ) réalisé par l'entreprise pour la location
de n machines par semaine, en centaines d'euros.
Montrer que B( n ) = m( n ) pour tout n dans IN.
3 . A l'aide de la courbe dire les entiers n pour lesquels le bénéfice est positif.
4. Quel est en centaines d'euros le bénéfice maximal possible en une semaine?
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