TRAVAIL II

 PROJETEPREUVE DEMATHEMATIQUES       BTS1                  19  Mars 2009                     3 Heures

            La calculatrice est autorisée. La clarté , le soin mis à rédiger de façon claire sans rature, l'encadrement

            des résultats présentés , les marges respectées, les numéros des questions mis , ainsi que

            les précisions demandées respectées pour les calculs,  entreront pour 2 points sur 20.

    •  EXERCICE.1                  6 POINTS

             Soit les matrices M , I , X , Y respectivement égales à

 / -2 -6     0   \
|    2 -2 0     |
 \  2   2 4   /
   
 /  1 0    0   \
|    0 1       0     |
 \   0 0 1    /
 /  x  \
|    y   |
 \  z  /

 

                 

  / a  \
 |   b   |
  \ c  /

                   où x , y , z , a , b , c sont des nombres réels.

                  On considère le système d'équations :

                 - 2x - 6 y           = a

                  2x  - 2y            =  b             noté ( S )

                  2x + 2 y + 4 z   = c

      1. Montrer que résoudre le système ( S ) à trois inconnues x , y , z équivaut

          à résoudre l'équation ( E ) : MX = Y  , où l'inconnue  est la matriceX.

      2. a. Calculer M2 , M3 .

          b. Exprimer   M3  en fonction de I .

      3. a. Montrer que : MX = Y équivaut à : X = ( 1 / 64 ) M² Y.

          b. En déduire la résolution du système ( S ) .

          c. Donner les solutions de ( S ) lorsque  a = 1 , b = - 3   et   c = 2.

 

     •  EXERCICE . 2                 5 POINTS

             Une "carte de fidélité " d'un magasin est attribuée à certaines catégories de familles.

         Soit quatre variables booléennes m , a , r , c . On désigne par f une famille  quelconque.

         m = 1   si f  est avec la mère au foyer sinon m = 0.         (   m désigne m barre )

         a = 1    si f  a plus  5 enfants  sinon a = 0.     ( a  désigne   a barre )

         r = 1    si f posède un revenu inférieur 9 000 euros par an  sinon r = 0.     (  r  désigne r  barre ) 

         c = 1   si  f  peut obtenir la carte  sinon  c = 0.

      1. Quelles  sont les familles f pour lesquelles  m. a . r = 1  ? 

      2. On admet que    c = m. a  +  r . a +  m   . ( r +  r . a  )  .

            a.  Faire  le tableau de Karnaugh de c.

            b.  En déduire une expression simplifiée de c.

            c.  Quelles sont les familles  ne pouvant pas avoir la carte ? 

      3. Par le calcul booléen montrer que  m. a  +  r . a +   m  . ( r +  r . a  ) =  a  +  rm  .

               Rappel:     y + y . z = y         et      y + y . z = y + z      où   y ,  z sont des variables booléennes )

 

     •  EXERCICE . 3                   7 POINTS 

                Partie A     Recherche de fonctions dérivées.

                1. Soit la fonction h:  x→ ln( 0,2 x + 1 )  sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                   Justifier que  la fonction dérivée de la fonction h est  h' : x→ 0, 2  /  ( 0, 2 x + 1 ).

                2. Soit la fonction affine g:  x→ 4 x + 9  sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                   Justifier que la fonction dérivée de la fonction g est g' : x→ 4.

                3. On pose f( x ) = g( x ) - 20 h( x ) pour tout réel x positif.

                     Montrer que la fonction dérivée de f est la fonction f ' : x → 0, 8 x  /  ( 0, 2x + 1 ).

                     Donner le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                4. Calculer f( 10 ) et f( 20 ).

                5. Soit la fonction affine  k: x  → - x - 9  sur l'intervalle  [ 0 , + ∞ [.

                    Justifier que la fonction dérivée de la fonction k est k' : x→ - 1.

                6. On pose m( x ) = k( x ) + 20 h( x )  pour pour tout réel x positif.

                    a. Montrer que la fonction dérivée de la fonction m est

                        m' : x → ( - 0, 2 x + 3 ) / ( 0, 2 x + 1 )

                       Calculer m' ( 15 ) .

                    b. Justifier que m' ( x )  est du signe de - 0, 2 x + 3 pour tout x dans

                        l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                   c. Donner le sens de variation de la fonction m sur l'intervalle [ 0 ; 40 ].

                       Calculer m( 0 ) , m( 15 ) et  m( 40)  à 10- 2  près .

                       Donner le tableau de variation de la fonction m sur l'intervalle [ 0 ; 40 ].

                7 . Représenter la fonction m dans un repère  orhonormal.

                      Unité graphique : 0,5 cm

                      On placera les points d'abscisses : 0 ; 5 ;10 ; 15 ; 20; 30 ; 40.

                Partie  B     Etude de rentabilité

                           Une entreprise loue des machines.

                           Le coùt de fonctionnement hebdomadaire ( en centaines d'euros )

                           correspondant à la location de n machines est :

                           C( n ) = f( n ) pour tout entier naturel n .

                           Chaque machine est louée 3 centaines d'euros par semaine.

                          1. Combien rapporte la location de n machines par semaine en centaines d'euros?

                          2 . En déduire le bénéfice algébrique B( n ) réalisé par l'entreprise pour la location

                               de n machines par semaine, en centaines d'euros.

                               Montrer que B( n ) = m( n )  pour tout n dans IN.

                          3 . A l'aide de la courbe dire les entiers n pour lesquels le bénéfice est positif.

                          4. Quel est en centaines d'euros le bénéfice maximal possible en une semaine?

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