INFO TEST INTEGRATION MAI 2011

 

   NOM: .................  PRENOM: .........................    CLASSE: TS                DATE : 11 mai 2011

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

        Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O , vect( i ) , vect( j ) ).

       Unité graphique : 1 cm

    •   Calculer l'intégrale   I = ∫( 1 / √x ) dx .

            Elle existe car la fonction f : x   →  1 / √x  est définie et continue dans l'intervalle [ 1 , e ]. 

             La fonction f admet la fonction F : x   →  2 √x   comme primitive sur l'intervalle [ 1 , e ].

             Ainsi:    I = [  2√x   ]e

            Conclusion :    I  = 2 √e   - 2

      •   Comment peut - on interpréter I  ?

          La fonction  f : x  →  1 / √x  est définie , continue et positive dans l'intervalle [ 1 , e ]. 

         Donc    ∫( 1 / √x ) dx   est l'aire du domaine sous la courbe de f sur l'intervalle [ 1 , e ] en u.a

         c-à-d ici   en cm2   .

             Conclusion :    I  est l'aire du domaine sous la courbe de la fonction  x  →  1 / √x    en  cm2   .

 

      • On fait tourner autour de l'axe des abscisses le domaine D , ensemble des points M ( x , y )

       du plan  tels que  1 ≤  x ≤ e  et  0 ≤  y ≤  1 / √x .

      Trouver le volume V du solide ainsi engendré, en cm3  .

            Comme la fonction  f : x  →  1 / √x  est définie , continue et positive dans l'intervalle [ 1 , e ]

            le volume du solide révolution engendré par le domaine sous la courbe sur [ 1 , e ]

               est :                V =   ∫e   π ( 1 / √x )2 dx     en u . v    c-à-d  en  cm3   

           Ainsi :            V  =  π  ∫e    ( 1 / x ) dx        cm3   

                   c-à-d      V  =  π  [  ln( x )  ]e                cm3    

                   c-à-d     V  =  π ( ln( e ) - ln( 1 ) ) =   π ( 1 - 0 ) =   π       cm3    

             Conclusion :   V =   π      cm  

      •   Soit l'intégrale   K = ∫π  x sin( x ) dx

         •   Montrer sans calculer K que  :     -  π2 / 2  ≤  K  ≤  π2  / 2

            On sait que       - 1   ≤  sin x    ≤    1    pour tout x dans [ 0 ,  π ].

           Donc                    - x    ≤  x  sin x    ≤  x   pour tout x dans [ 0 ,  π ].

            Mais les trois fonctions x  →  - x   ,   x  →  x sinx   , x  →  x  sont

            définie , continues sur l'intervalle  [ 0 ,  π ].

          D'où   

             ∫π  - x dx   ≤   ∫π  x sin( x ) dx    ≤    ∫π   x dx

         c-à-d 

              [ - (1/ 2 ) x2    ]  π      ≤    K    ≤      [  (1/ 2 ) x2    ]  π 

         c-à-d 

           Conclusion :   On a     - (1/ 2 ) π2    ≤    K    ≤     (1/ 2 ) π2     

           •  A l'aide d'une intégration par parties

                 Calculer l'intégrale K.

                Soit les fonction u : x →  x   et  v ' : x  →  sin x

                v '   est donc définie et continue dans l'intervalle  [ 0 ,  π ].

                u est définie et dérivable sur l'intervalle  [ 0 ,  π ].

                 Ainsi :     u ' : x  →  1

               u' est donc définie et continue dans l'intervalle  [ 0 ,  π ].

               Considérons   v : x   → - cos x     

                v est définie et dérivable dans l' intervalle [ 0 ,  π ]

              Nous pouvons procéder à une intégration par parties.

            On a :      ∫π   u( x )  v' ( x ) dx = [ u( x )  v( x ) ] 0 π  -  ∫π  u' ( x ) v(x ) dx  

           Cela donne :

                          K =  [ x  ( - cos x )  ] 0 π  -  ∫π    1 ( - cos x )  dx  

      c-à-d            K =   π ( - cos π )  - 0   -   [ - sin x  ] 0 π    

       c-à-d         K =  π  -  ( - sin π  + sin 0 ) =  π

             Conclusion :   On a   K = π         

     • Soit la suite d'intégrales :      Jn = ∫  0  1   xn ex   dx 

         pour tout entier naturel non nul n.

       •Pourquoi    Jn   ≥ 0     pour tout entier naturel non nul n ?

            La fonction sous le symbole intégral  à savoir x  →  xn ex  

             est définie , continue et positive sur l'intervalle [ 0 , 1 ]   pour tout entier non nul n.

            Donc l'intégrale  Jn = ∫  0  1   xn ex   dx    est un réel positif. 

              ( on peut l'interpréter comme une aire sous la courbe en u.a )

               Conclusion :   On a     Jn   ≥ 0     pour tout entier naturel non nul n

          •  A l'aide d'une intégration par parties montrer que:

            J n + 1   =   e - ( n + 1 )   J n     

               On a   Jn + 1 = ∫  0  1   xn + 1 ex   dx   

             Soit n un entier naturel non nul.

              Soit les fonctions   u : x  →  xn + 1     et   v ' : x   → ex  

              v '  est définie et continue dans l'intervalle [ 0 , 1 ].

              u est définie et dérivable dans l'intervalle [ 0 , 1 ].

              On a :          u ' : x  → ( n + 1 ) xn    

                u ' est définie et continue dans l'intervalle [ 0 , 1 ].

              Considérons  v : x → ex   

              v est définie et dérivable dans l'intervalle [ 0 , 1 ]

              Donc on peut procéder à une intégration par parties.           

          On a :      ∫1   u( x )  v' ( x ) dx = [ u( x )  v( x ) ] 0 1  -  ∫u' ( x ) v(x ) dx  

           Cela donne :

                             Jn + 1 =  [  xn + 1  ex  ] 0 1  -  ∫( n + 1 ) xn   ex  dx  

           c-à-d             Jn + 1 =     e1  -  0   - ( n + 1 )  ∫1   xn   ex  dx  

             Conclusion :   On a      l'égalité  Jn+1 =   e - ( n + 1 )  Jn           

            •On admet que   J1 = 1

                Calculer   J2             

               Ona pour n = 1                             Jn + 1 =  J

                                                        et      e - ( n + 1 )  Jn =  e - 2  J1 

              Comme     J1 = 1     il vient  :            e - ( n + 1 )  Jn = e - 2

               Ainsi    l'égalité  Jn+1 =   e - ( n + 1 )  Jn    

                devient :      J2 =  e - 2    

                   Conclusion :   On a     J2   = e - 2