CHARIOT SUR UNE PENTE

            EXERCICE DE TRANSITION               1S1               Décembre 2009

               EXERCICE

                                   Un chariot est tracté sur une pente.

                                    

                             Son centre de gravité est déplacè de G à G ' .

                                     

                    1. Donner l'intensité de la force qui s'oppose à l'avancement

                    en fonction de celle de la pesanteur. 

               2. Application numérique:      θ = Π/ 4

                                                               P  = 70 Newtons                                                              

                                                                GG' = 15 m

                        a. Donner P' l'intensité de la force ' .

                        b. Quel est le travail , en joules, de la force  quand le centre

                           de gravité du chariot se déplace de G à G' ?                         

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       Réponse:

           1. Recherche de P' .

            •   Méthode avec le cosinus dans un triangle rectangle.

                 

                   Dans le triangle rectangle GHK on a :

                        GH = GK cos( Π / 2 - θ ) = P sin  θ

                   D'où :  

                           Conclusion:  P'  =  P sin  θ 

                     • Méthode avec la trigo.

                       Le vecteur   se projette orthogonalement sur le

                vecteur ' suivant ici le vecteur  '     

                         Donc, d'après un résultat de cours montré en exercice,

                                          

                                                Mais:

                                                     

                                    Ainsi:

                                                          

                                      Donc

                                                                                                                                                                     

                                       Conclusion:        P' = P sin(  θ  )

                       • Méthode avec le produit scalaire.

                    On écrit de deux façons le produit scalaire  ' .    .

  • • Le vecteur   se projette orthogonalement sur le

      vecteur ' suivant le vecteur  '   

                       Donc le produit scalaire  ' .     s'écrit :      

                       ' .   =  ' . '  = || ' ||  × || ' || = P'²      ( 1 )

  • •  Mais  on a aussi par définition le produit scalaire  ' .  

      qui s'écrit:   

                                     ' .   = P × P' × cos( ' ,   )       ( 2 )

                        Or      ( ' ,   ) =  Π / 2 - θ   [  2 Π ]

                      D'où      ' .    = P × P'  × cos(  Π / 2 - θ )

                       Mais    cos(  Π / 2 - θ ) = sin( θ ) 

                                  Ainsi            ' .    = P × P'  ×  sin( θ )         ( 3 )

                            ( 1 )  et (  3 ) donnent: 

                                         P'²  = P ×  P'  ×  sin( θ )   

                                 Or    P' ≠ 0 .

                        Ainsi en simplifiant par P' il vient: 

                                 Conclusion:    P' = P sin(  θ )   

                       2. Aplication numérique:

                         a.  Intensité de   ' .

                              P' = P sin  θ    se traduit  ici par   P' = 70 sin(  Π / 4 )

                             c-à-d  

                            Conclusion: P ' = 70 / √2    Newtons

                 b.Le travail de la force  est  le produit scalaire    .  .

                                            

                                          On a :           .  = P × GG'  cos(  , )

                            avec        (  ,  ) =  Π / 2 + θ   [ 2  Π ]

                            c-à-d        (  ,  ) =  Π / 2 +   Π / 4   [ 2  Π ]

                            c-à-d         (  ,  ) =  3Π / 4      [ 2  Π ]

        Ainsi :           .  = 70  × 15  × cos (3Π / 4 )

        c-à-d

                           .  = - 1050 /√2     joules

                Conclusion : Le travail de la force    de G  à G' est

                                 - 1050 / √2     joules