INFO 2 TEST BTS PROB VAR

          INFO 2  TEST  BTS    PROBA.     V.A.R.     Mardi 29 mars 2010  

         EXERCICE 2.

                     Une urne contient  9 boules dont 2 boules rouges , 3 boules blanches et 4 boules noires ,

                      indiscernables au toucher.   

                                                              

                      Un jeu consiste à tirer deux boules successivement sans remise de l'urne au hasard en contrepartie

                      d'une participation de 5 euros.

                       •Pour chaque boule rouge obtenue  le joueur reçoit 3 euros.

                       • Pour chaque boule blanche obtenue le joueur reçoit 2 euros .

                       •Pour chaque boule noire obtenue le joueur doit donner 3 euros.

                      Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage des deux boules associe le gain

                      algébrique du joueur.

                       ( On notera:

                        ( R , R' ), ( B , B' ) , ( N , N' ) , ( R , B' ) , ( R , N' ) , ( B ,R ' ) ,( B , N ' ) , ( N , R' ) , ( N , B' )

                         les résultats possibles. )

                           1. Donnons les valeurs prises par X.   

                                  •  ( R , R' ) :    Le gain algébrique est : 3 + 3 - 5 = 1 euros    

                                  •  ( B , B' ) :   Le gain algébrique est : 2 + 2 - 5 =  - 1 euros    

                                  •  ( N , N' ) :     Le gain algébrique est : - 3 - 3 - 5 = - 11  euros  

                                  •  ( R , B' ) ou ( B ,R ' ):   Le gain algébrique est :  3 + 2 - 5 =  0 euros    

                                  •  ( R , N' )  ou ( N , R' ) :   Le gain algébrique est : 3 - 3 - 5 =  - 5  euros    

                                  •  ( N , B' )  ou  ( B , N ' ):  Le gain algébrique est :  2 - 3 - 5  = - 6 euros    

                             Conclusion :   Les valeurs de X sont donc :  - 11  ;  - 6  ; - 5  ; - 1 ; 0 ; 1  

                           2. Donnons la loi de probabilité de X.

x -11 - 6 - 5 - 1 0 1
P( X = x ) 12 / 72 24/72 16/72 6/72 12/72 2/72

   On est dans une situation d'équiprobabilité.

   Ω est l'ensemble des arrangements de deux boules parmi les 9 boules de l'urne .

   Ainsi :  Card( Ω  ) = A9 2  = 72

                                   

   •  ( X = - 11 ) est l'ensemble des arrangements de deux boules noires.

       Card( X = -11 ) = A4 2  = 12

      Donc   on a :   P( X = - 11 ) =     12 / 72   

   •   ( X = - 6 ) est l'ensemble des parties ordonnées contenant une boule noire. et une boule blanche.

       Ainsi Card(  ( X = - 6  ) )  = 2 × ( 4 ×3  ) = 24                             I    4  I   3    I        I   3   I    4   I 

       Donc  on a :    P( X = - 6 ) =      24 / 72                                       N         B                B       N

   •  ( X = - 5 ) est l'ensemble des parties  ordonnées d' une boule rouge et une boule noire .

       Card  ( X = - 5 ) )  = 2  × ( 4  × 2  ) = 16                                      I  4    I   2    I        I   2    I    4   I 

       Donc on a : P( X = - 5 ) =    16 / 72                                               N        R                R       N

   •  ( X = - 1 ) est l'ensemble des parties ordonnées de deux boules blanches.

       Card ( X = - 1 ) =  A3 2  = 3  × 2 = 6

       P( X = - 1 ) =   6 / 72

    • ( X = 0 ) est  lensemble de parties ordonnées de une boule rouge et de une boule blanche.

       Card(( X = 0 ) = 2  × ( 3  × 2  ) =12                                 I  3    I   2    I        I 2     I    3   I 

       Donc on a :  P( X = 0  ) =     12 / 72                                  B        R                 R       B

    • ( X = 1 ) est  l'ensemble des parties de  deux boules rouges.

       Card( ( X = 1 )  = A2 2   = 2

       Donc on a P( X = 1 ) =    2 / 72   

   3. Trouver l'espérance de X. Le jeu est-il équitable ?

           E( X ) = ( - 11  × 12 - 6  ×  24 - 5  ×  16 + 0  × 12 - 1  ×  6 + 1  ×  2 ) / 72  = -5

           Conclusion:     E( X ) = - 5   euros           

           Le jeu n'est pas équitable. En effet :  E( X ) n'est pas nul.

  4. Calculer la variance et l'écart type de X.

      E( X² ) = ( 121  ×  12 + 36  ×  24 + 25  ×  16 + 0  ×  12 + 1  ×  6  + 1  ×  2 )  / 72 = 2724  / 72

       E( X² ) = 227 / 6

      Or  V( X ) =    E( X² )  - (  E( X ) )² 

      Donc   V( X ) = ( 227 / 6  ) - 25     Mais  σ(X ) = √ V( X )

           Conclusion:    V ( X ) ≈ 12,83   et   σ(X )  ≈  3,58   euros    

 

 

 

 

 

 

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