INFO DS 13/2/09 BTS1A

INFO  DS   DU 13 FEV. 09             BTS1A

   EX1    ( Obligatoire sur 5 points )

             Soit A = a b c + a b c + a b c + a b c + a b c

    1.a. Donnons le tableau de Karnaugh de l'expression A.

a\bc 00 01 11 10
0       1                  1
1 1                1

           Déduisons une simplification de A .

             A = c  + a .b    

 On pouvait aussi dire :     A = c  + a .b .c    

          b. Retrouvons par le calcul ce résultat simplifié.

          On a :    A = a .b. c + a .b .c + a .b .c + a .b .c + a .b .c      

          c-à-d       A =   b. c .( a + a )  +  a .b .c +  b. c .( a + a )      par factorisation de b. c 

         c-à-d      A =    b. c a .b .c +  b .c                 sachant  a + a = 1

           c-à-d      A = c .( b + b ) +  a .b .c           par factorisation de c   ( c  barre  )

           c-à-d         A =   c .( b + b ) +  a .b .c         sachant b + b  = 1

           c-àd        A =   c  +  a . b .c

           c-à-d        A =   c  +  a . b                           sachant   x + x .y = x + y

                                                                       (     a .b  joue le rôle de  y

                                                                            c    joue le rôle  de x   )

           Conclusion :     On a retrouvé le résultat.

      2. a. Calculons ( x → 0 ).    Par convention ( x → y )  =  x + y

        Ainsi :     ( x → 0 ) =  x  + 0 =  x

      Donc    ( x → 0 ) =    x      (     c'est-à-dire    x barre )

          b.  Montrons que ( (x→ 0 ) → y ) = x + y

          On a :   ( (x→ 0 ) → y ) = (  x  → y ) = x + y    (  x barre barre est x )

          Donc :     ( (x→ 0 ) → y ) = x + y   

                Montrons que ( ( ( x→ 0 ) → y ) → 0 ) =  x . y

            On a :  ( ( (x→ 0 ) → y ) → 0 ) = ( ( x + y  ) → 0 ) =  x . y   + 0 =  x . y  

              ( Loi de Morgan :  barre ( x + y )  donne   x . y      ) 

           Donc  ( ( (x→ 0 ) → y ) → 0 ) =  x . y  

           c .Traduisons la forme simplifiée de A sans  + ,  .  , barre .

               A = c + a .b      

            or    a .b = ( ( ( a→ 0 ) → b ) → 0 )

 Donc     A =   c +  ( ( ( a→ 0 ) → b ) → 0 )  =   (  c  → ( ( ( a→ 0 ) → b ) → 0 ) )

        Conclusion :  A = (  c  → ( ( ( a→ 0 ) → b ) → 0 ) )

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