INFO DS DU 13 FEV. 09 BTS1A
EX1 ( Obligatoire sur 5 points )
Soit A = a b c + a b c + a b c + a b c + a b c
1.a. Donnons le tableau de Karnaugh de l'expression A.
a\bc | 00 | 01 | 11 | 10 |
0 | 1 | 1 | 1 | |
1 | 1 | 1 |
Déduisons une simplification de A .
A = c + a .b
On pouvait aussi dire : A = c + a .b .c
b. Retrouvons par le calcul ce résultat simplifié.
On a : A = a .b. c + a .b .c + a .b .c + a .b .c + a .b .c
c-à-d A = b. c .( a + a ) + a .b .c + b. c .( a + a ) par factorisation de b. c
c-à-d A = b. c + a .b .c + b .c sachant a + a = 1
c-à-d A = c .( b + b ) + a .b .c par factorisation de c ( c barre )
c-à-d A = c .( b + b ) + a .b .c sachant b + b = 1
c-àd A = c + a . b .c
c-à-d A = c + a . b sachant x + x .y = x + y
( a .b joue le rôle de y
c joue le rôle de x )
Conclusion : On a retrouvé le résultat.
2. a. Calculons ( x → 0 ). Par convention ( x → y ) = x + y
Ainsi : ( x → 0 ) = x + 0 = x
Donc ( x → 0 ) = x ( c'est-à-dire x barre )
b. Montrons que ( (x→ 0 ) → y ) = x + y
On a : ( (x→ 0 ) → y ) = ( x → y ) = x + y ( x barre barre est x )
Donc : ( (x→ 0 ) → y ) = x + y
Montrons que ( ( ( x→ 0 ) → y ) → 0 ) = x . y
On a : ( ( (x→ 0 ) → y ) → 0 ) = ( ( x + y ) → 0 ) = x . y + 0 = x . y
( Loi de Morgan : barre ( x + y ) donne x . y )
Donc ( ( (x→ 0 ) → y ) → 0 ) = x . y
c .Traduisons la forme simplifiée de A sans + , . , barre .
A = c + a .b
or a .b = ( ( ( a→ 0 ) → b ) → 0 )
Donc A = c + ( ( ( a→ 0 ) → b ) → 0 ) = ( c → ( ( ( a→ 0 ) → b ) → 0 ) )
Conclusion : A = ( c → ( ( ( a→ 0 ) → b ) → 0 ) )
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