INFO. 1 EX. SUR LES FONCTIONS

INFO.  1 EX. SUR LES FONCTIONS


     REP.

           1.a. On a : f( x ) = 2 x3  - 3 x2  +1.

             Il apparaît que 1 est une racine évidente de f( x ) = 0

             puisque 2 -  3 +1 = 0.

             Il est donc naturel que l'on puisse factoriser f(x ) en faisant apparaître

             le facteur x - 1.

              la division de  2 x3  - 3 x2  +1 par   x - 1 permet  d'obtenir:

                        2 x3  - 3 x2 + 1 = ( x - 1 ) ( 2 x2 - x - 1 )         pour tout réel x.

            Ainsi :                 a = 2        b = - 1           c = - 1

            b. Résolvons f(x ) = 0 .

                f( x ) = 0  équivaut à x = 1 ou    2 x2 - x - 1 = 0

               Résolvons  2 x2 - x - 1 = 0.

               2 - 1 - 1 = 0. Donc 1 en est une racine évidente.

              L'autre racine est donc    c / a = - 1 / 2.

               Ainsi f( x ) = 0  ssi  x = 1 ou x = - 1 / 2 

             Conclusion:   SIR  = {   1 , - 1 / 2 }.

              c.  Donnons les coordonnées des points d'intersection de la

                   courbe ( C ) avec l'axe des abscisses.

                  On a vu que f( x ) = 0 ssi x = 1 ou x = - 1/ 2

                Conclusion: Le points recherchés sont : A( 1 ; 0 ) et B( - 1 / 2 ; 0 ).

                 2. Donnons la forme factorisée de f(x ).

                    • Les racines de   2 x2 - x - 1  sont  1 ; - 1 / 2 .

                      Le  coefficient  du terme de plus haut degré de 2 x2 - x - 1 est 2.

                      Donc      2 x2 - x - 1 = 2 ( x - 1 )( x + 1/ 2 ).

                      •  Comme f( x ) =( x- 1 ) ( 2 x2 - x - 1 )

                           f( x ) = 2 ( x - 1 ) ( x - 1 )( x + 1 / 2)  

               Conclusion : f( x ) = 2 ( x - 1 ) ( x - 1 )( x + 1 / 2)  

                  3. Montrons que f( x ) est toujours du signe de ( x + 1 / 2 ).

                      On a: f( x ) = 2 ( x - 1 )2  ( x + 1 / 2 )

                       Comme 2 et ( x - 1 )  sont toujours positifs le signe de f( x )

                       est celui de ( x + 1 / 2 ).

                  Conclusion: Le résultat est avéré.

                    4.a.  Sur l'intervalle  [ 0 , 1 ] .

                             On a pour tout x dans  [ 0 , 1 ]  :

                             0 <= f(x) <= 1

                        b.  Sur   [ 0 , 1 ]  on a:     f <= 1

                              De plus f( 0) = 1.

                             1 est donc le maximum de f sur  [ 0 , 1 ] .

                              Il est obtenu pour x = 0

                        c. Sur   [ 0 , 1 ]  on a:    0<= f 

                             De plus  f(  1 ) = 0 

                            0 est donc le minimum de f sur  [ 0 , 1 ].

                            Il est obtenu pour x = 1.

                  5.   Considérons:      y = f( x)

                                           et    y = x + 1    avec x dans IR.

                            Ainsi           2 x3 - 3 x 2 + 1 = x + 1

                              c-à-d          2 x3 - 3 x2  - x = 0

                              c-à - d        x ( 2 x2  - 3 x - 1 ) = 0

                              c-à-d  x = 0 ou  2 x- 3 x - 1 = 0

                         Résolvons : 2 x2  - 3 x - 1 = 0.       ( 1 )

                              Δ = ( - 3 )2 - 4 ( 2 )( - 1 ) = 9 + 8 = 17

                          Δ > 0  Donc il ya deux racines distinctes pour ( 1 )

                         ( 3 + √17 ) / 4      et   ( 3 - √17) ) / 4

                        Ainsi 2 x3 - 3 x 2 + 1 = x + 1   équivaut à

                          x = 0 ou x =( 3 + √17 ) / 4   ou x = ( 3 - √17) ) / 4

                     Les abscisses des points communs à ( C ) et D sont ces trois réels.