INFO. 1 EX. SUR LES FONCTIONS
REP.
1.a. On a : f( x ) = 2 x3 - 3 x2 +1.
Il apparaît que 1 est une racine évidente de f( x ) = 0
puisque 2 - 3 +1 = 0.
Il est donc naturel que l'on puisse factoriser f(x ) en faisant apparaître
le facteur x - 1.
la division de 2 x3 - 3 x2 +1 par x - 1 permet d'obtenir:
2 x3 - 3 x2 + 1 = ( x - 1 ) ( 2 x2 - x - 1 ) pour tout réel x.
Ainsi : a = 2 b = - 1 c = - 1
b. Résolvons f(x ) = 0 .
f( x ) = 0 équivaut à x = 1 ou 2 x2 - x - 1 = 0
Résolvons 2 x2 - x - 1 = 0.
2 - 1 - 1 = 0. Donc 1 en est une racine évidente.
L'autre racine est donc c / a = - 1 / 2.
Ainsi f( x ) = 0 ssi x = 1 ou x = - 1 / 2
Conclusion: SIR = { 1 , - 1 / 2 }.
c. Donnons les coordonnées des points d'intersection de la
courbe ( C ) avec l'axe des abscisses.
On a vu que f( x ) = 0 ssi x = 1 ou x = - 1/ 2
Conclusion: Le points recherchés sont : A( 1 ; 0 ) et B( - 1 / 2 ; 0 ).
2. Donnons la forme factorisée de f(x ).
• Les racines de 2 x2 - x - 1 sont 1 ; - 1 / 2 .
Le coefficient du terme de plus haut degré de 2 x2 - x - 1 est 2.
Donc 2 x2 - x - 1 = 2 ( x - 1 )( x + 1/ 2 ).
• Comme f( x ) =( x- 1 ) ( 2 x2 - x - 1 )
f( x ) = 2 ( x - 1 ) ( x - 1 )( x + 1 / 2)
Conclusion : f( x ) = 2 ( x - 1 ) ( x - 1 )( x + 1 / 2)
3. Montrons que f( x ) est toujours du signe de ( x + 1 / 2 ).
On a: f( x ) = 2 ( x - 1 )2 ( x + 1 / 2 )
Comme 2 et ( x - 1 )2 sont toujours positifs le signe de f( x )
est celui de ( x + 1 / 2 ).
Conclusion: Le résultat est avéré.
4.a. Sur l'intervalle [ 0 , 1 ] .
On a pour tout x dans [ 0 , 1 ] :
0 <= f(x) <= 1
b. Sur [ 0 , 1 ] on a: f <= 1
De plus f( 0) = 1.
1 est donc le maximum de f sur [ 0 , 1 ] .
Il est obtenu pour x = 0
c. Sur [ 0 , 1 ] on a: 0<= f
De plus f( 1 ) = 0
0 est donc le minimum de f sur [ 0 , 1 ].
Il est obtenu pour x = 1.
5. Considérons: y = f( x)
et y = x + 1 avec x dans IR.
Ainsi 2 x3 - 3 x 2 + 1 = x + 1
c-à-d 2 x3 - 3 x2 - x = 0
c-à - d x ( 2 x2 - 3 x - 1 ) = 0
c-à-d x = 0 ou 2 x2 - 3 x - 1 = 0
Résolvons : 2 x2 - 3 x - 1 = 0. ( 1 )
Δ = ( - 3 )2 - 4 ( 2 )( - 1 ) = 9 + 8 = 17
Δ > 0 Donc il ya deux racines distinctes pour ( 1 )
( 3 + √17 ) / 4 et ( 3 - √17) ) / 4
Ainsi 2 x3 - 3 x 2 + 1 = x + 1 équivaut à
x = 0 ou x =( 3 + √17 ) / 4 ou x = ( 3 - √17) ) / 4
Les abscisses des points communs à ( C ) et D sont ces trois réels.