COMPLEMENTS DE TS SUR LES SUITES NUMERIQUES 11 Mars 2011
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1. REMARQUE:
Pour les définitions de base consulter les rubriques précédentes.
( suite ,suite géométrique , suite arithmétique )
Comme les suites numérique sont des fonctions numériques
définies sur IN ou IN* on peut utiliser pour les suites numériques
les résultats de cours connus au sujet des limites de fonctions en + ∞.
2. Convergence d'une suite vers un réel L.
Soit ( un ) une suite numérique définie sur IN.
Soit L un nombre réel.
Les affirmations suivantes sont équivalentes.
• lim un = L
n → + ∞
• La suite ( un ) admet comme limite finie le réel L .
• La suite ( un ) converge vers le réel L.
• On peut rendre un très proche de L à condition de prendre n assez grand.
• Tout intervalle ouvert centré en L , contient tous les termes de la suite à partir
d'un certain rang.
• Pour tout ε > 0 il existe un entier naturel n0 tel que
pour tout n dans IN , n ≥ n0 => L- ε ≤ un ≤ L + ε
3. Aspect intuitif: "Imaginez un joueur de basket et un panier de diamètre variable .
Dès que le diamètre du panier est fixé le joueur arrive à mettre
tous les ballons dans le panier à condition d'être assez
près du panneau de basket."
Pour une suite, le travail pour ε > 0 fixé , consiste à trouver un rang n0
à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle
] L- ε , L + ε[ .
4. Exemple: Etablir que la suite ( un ) de terme général un = ( n - 1 ) / ( n + 1 )
converge vers le réel 1.
Montrons lim ( n - 1 ) / ( n + 1 ) = 1
n → + ∞
On a : un = ( n - 1 ) / ( n + 1 ) = ( n + 1 - 2 ) / ( n + 1 ) = 1 - 2 / ( n + 1 )
Il y a plusieurs méthodes.
• Méthode: ( Proche de la définition et peu usitée )
Soit ε > 0 fixé.
1- ε ≤ un ≤ 1 + ε
s'écrit 1- ε ≤ 1 - 2 / ( n + 1 ) ≤ 1 + ε
c-à-d - ε ≤ - 2 / ( n + 1 ) ≤ ε
c-à-d en divisant par - 2
ε / 2 ≥ 1 / ( n + 1 ) ≥ - ε / 2
c-à-d comme 1 / ( n + 1 ) > 0
ε / 2 ≥ 1 / ( n + 1 )
c-à-d en considérant les inverses
n + 1 ≥ 2 / ε
c-à-d n ≥ 2 / ε - 1
On peut prendre comme n0 convenable
tout entier naturel supérieur ou égal à 2 / ε - 1.
On a bien :
Pour tout ε > 0 il existe un entier naturel n0 tel que
pour tout n dans IN , n ≥ n0 => 1- ε ≤ un ≤ 1 + ε
Conclusion : lim un = 1
n → + ∞
• Autre méthode.
On a : lim - 2 / ( n + 1 ) = - 2 / + ∞ = 0
n → + ∞
D'où
lim ( 1 - 2 / ( n + 1 ) ) = 1
n → + ∞
Conclusion : lim un = 1
n → + ∞
5. Activité ( ROC )
Montrer l'unicité de la limite finie L d'une suite ( un ) .
Réponse:
On adopte un raisonnement par l'absurde.
Soit la suite ( un ) . Soit L et L ' deux réels distincts.
Supposons : lim un = L et lim un = L '
n → + ∞ n → + ∞
Soit ε > 0 quelconque ( que l'on pourra choisir ).
Il existe un rang n0 tel que pour tout entier n ≥ n0 on a : un dans ] L - ε , L + ε [.
Il existe un rang n'0 tel que pour tout entier n ≥ n'0 on a : un dans ] L' - ε , L' + ε [.
Soit n' le plus grand des entiers n0 et n'0 .
....................... L - ε ........ L ........ L+ ε .........................................................
................................ ....................... L' - ε ........ L' ........ L' + ε ...................
On peut considérer L < L ' ( même raisonnement pour L > L ' .
On peut choisir ε > 0 pour créer une contradiction.
Prenons L + ε = L ' - ε c-à-d ( L ' - L ) / 2 = ε comme sur le schéma.
Alors les deux intervalles ouverts ] L - ε , L + ε [ et ] L' - ε , L' + ε [. sont disjoints.
Il est donc impossible qu'à partir du rang n' les termes de la suite ( un ) soient dans chacun d'eux.
CONTRADICTION.
Conclusion: L'unicité de la limite finie est prouvée.
6. PROPRIETE
Tout suite croissante et majorée converge ( c-à-d admet une limite finie ) Admis
Tout suite décroissante et minorée converge ( c-à-d admet une limite finie ) Admis
Toute suite croissante non majorée diverge vers + ∞ .
Toute suite décroissante non minorée diverge vers - ∞ .
Explication:
Soit ( un ) une suite croissante non majorée .
Soit A > 0 . A ne peut majorer la suite ar elle est non majorée .
L'un des termes dépasse A.
Il existe donc un entier k tel que uk > A
Mais comme la suite est croissante tous termes d'indices
supérieur à k vont dépasser aussi A .
A partir d'un certain rang tous les termes de la suite dépassent A.
La suite ( un ) diverge vers + ∞ .
7. Suite divergente vers + ∞.
Soit la suite ( un ) .
Les affirmations suivantes sont équivalentes:
• lim un = + ∞
n → + ∞
• La suite ( un ) admet + ∞ comme limite.
• La suite ( un ) diverge vers + ∞ .
• Quelque soit A > 0 il existe un rang à partir duquel les termes de la
suite ( un ) sont tous dans l'intervalle ] A , + ∞ [.
• Pour tout A > 0 on peut trouver un entier naturel n0 tel que
pour tout n dans IN , n > n0 => un > A.
8.Exemple.
Soit la suite ( un ) de terme général un = n2 pour tout n dans IN.
Méthode possible.
Soit A > 0 .
n2 > A équivaut à n > √A comme n positif.
Soit n0 un entier naturel tel que n0 ≥ √A .
Pour tout entier naturel n , n > n0 implique n ≥ √A
Ainsi pour tout entier naturel n , n > n0 implique n2 > A
Ainsi pour tout A > 0 on peut trouver un entier naturel n0 tel que
pour tout n dans IN , n > n0 => un > A.
Conclusion : lim un = + ∞
n → + ∞
9. Suite divergente .
Une suite diverge quand :
• Soit elle n'a pas de limite.
• Soit elle admet + ∞ ou - ∞ comme limite.
10. Exemple de suite divergente.
Soit la suite ( un ) telle que un =( - 1 ) n pour tout n dans IN .
Cette suite diverge car elle prend alternativement comme valeurs - 1 et 1.
11. Limite d'une suite géométrique. Limite d'une suite arithmétique.
Soit le réel q .
• Si q > 1 alors lim qn = + ∞
n → + ∞
• Si 0 < q < 1 alors lim qn = 0
n → + ∞
Explication.
• Soit q > 1
Il existe un réel strictement positif a tel que 1+ a = q
Ainsi qn = ( 1 + a )n
Or l'inégalité de Bernoulli indique que :
( 1 + a )n ≥ 1 + n a ( Elle se montre par récurrence dans IN )
Mais lim ( 1 + n a ) = + ∞
n → + ∞
Donc lim qn = + ∞
n → + ∞
• Soit 0 < q < 1 .
On a : 1 / q > 1
Donc lm ( 1 / q )n = + ∞
n → + ∞
Or qn = 1 / ( 1 / q )n
Donc lim qn = 1 / + ∞ = 0
n → + ∞
On a bien : lim qn = 0
n → + ∞
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