COMPLEMENTS TS SUITE NUMERIQUE

           COMPLEMENTS DE TS SUR LES SUITES NUMERIQUES     11 Mars 2011

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            1. REMARQUE:

                 Pour les définitions de base  consulter les rubriques précédentes.

                ( suite ,suite géométrique , suite arithmétique )

                Comme les suites numérique sont des fonctions numériques

                définies sur IN ou  IN*  on peut  utiliser pour les suites numériques

                 les résultats de cours connus au sujet des limites de fonctions en +  ∞. 

            2. Convergence d'une suite vers un réel L.

                 Soit ( un ) une suite numérique définie sur IN.

                 Soit L un nombre réel.

                 Les affirmations suivantes sont équivalentes.

                   •  lim  un  = L

                       n →  + ∞

                   •  La suite ( un ) admet comme  limite finie le réel L .

                    •  La suite ( un ) converge vers le réel L.

                  •  On peut  rendre un très proche de L à condition de prendre  n assez grand.

                  •  Tout intervalle ouvert centré en L , contient tous les termes de la suite à partir

                          d'un certain rang.

                   •  Pour tout ε > 0  il existe un entier naturel ntel que

                     pour tout n dans IN ,  n   ≥ n0    =>   L- ε  ≤   un   ≤    L + ε

       3.   Aspect intuitif:   "Imaginez un joueur de basket et un panier de diamètre variable .

                                            Dès que le diamètre du panier est fixé le joueur arrive à mettre 

                                            tous les ballons dans le panier à condition d'être assez

                                            près du panneau de basket."

                                        Pour une suite, le travail pour ε > 0  fixé , consiste à trouver un rang  n

                                        à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle

                                        ] L- ε   ,    L + ε[ .

         4.    Exemple:       Etablir que la suite (  un  )   de terme général  un =  ( n - 1 ) / ( n + 1 )

                                      converge vers le réel 1.

                                       Montrons      lim  ( n - 1 ) / ( n + 1 )  = 1

                                                               n →  + ∞

                                     On a :  un =  ( n - 1 ) / ( n + 1 )  = ( n  + 1 - 2 ) / ( n + 1 )  =  1 -    2 / ( n + 1 )

                                        Il y a plusieurs méthodes.

                                   • Méthode: ( Proche de la définition et peu usitée )

                                     Soit  ε > 0 fixé.

                                                        1- ε  ≤   un   ≤   1 + ε  

                                     s'écrit       1- ε  ≤   1  -    2 / ( n + 1 )  ≤   1 + ε  

                                      c-à-d     - ε   ≤  -  2 / ( n + 1 )  ≤  ε      

                                      c-à-d       en divisant par - 2      

                                                      ε  / 2      ≥  1 / ( n + 1 )     ≥  - ε  / 2 

                                      c-à-d    comme   1 / ( n + 1 ) > 0

                                                     ε  / 2     ≥    1 / ( n + 1 )  

                                       c-à-d     en considérant les inverses

                                                        n  + 1    ≥    2 / ε   

                                      c-à-d         n     ≥    2 / ε    - 1

                              On peut prendre comme  n0    convenable

                             tout entier naturel supérieur ou égal à    2 / ε    - 1.

                          On a bien :                               

                     Pour tout ε > 0  il existe un entier naturel ntel que

                     pour tout n dans IN ,  n   ≥ n0    =>   1- ε  ≤   un   ≤    1 + ε

                           Conclusion :                 lim  un  = 1

                                                                     n →  + ∞

                        • Autre méthode.                                      

                                    On a :                           lim  - 2  / ( n + 1 )  = - 2 /  + ∞   =  0

                                                                          n →  + ∞

                                    D'où            

                                                              lim  (  1   -   2  / ( n + 1 ) )  = 1

                                                              n →  + ∞

                                 Conclusion :               lim  un  = 1

                                                                         n →  + ∞

                     5. Activité ( ROC )

                        Montrer  l'unicité de la limite finie L d'une suite  ( un  )  .

                        Réponse:

                       On adopte un raisonnement par l'absurde.

                       Soit la suite ( un  ) .  Soit L et L ' deux réels distincts.

                      Supposons :         lim  un  = L    et        lim  un  = L '

                                                          n →  + ∞                  n →  + ∞

                         Soit  ε > 0   quelconque  ( que l'on pourra choisir ).

                        Il existe un rang n  tel que pour tout entier n  ≥  n0   on a :   un  dans ] L -  ε , L +  ε [.

                         Il existe un rang n'  tel que pour tout entier n  ≥  n'0   on a :   un  dans ] L' -  ε , L' +  ε [.

                       Soit  n' le plus grand des entiers n  et  n'  .

                                   ....................... L -  ε  ........  L ........   L+  ε  ......................................................... 

                                   ................................  .......................  L' -  ε   ........  L' ........    L' +  ε ................... 

                        On peut  considérer L < L ' ( même raisonnement pour  L > L ' .

                       On peut choisir   ε > 0  pour créer une contradiction.

                      Prenons     L +  ε   =  L ' -  ε     c-à-d    ( L ' - L ) /   2  =  ε   comme sur le schéma.

                     Alors les deux intervalles ouverts  ] L -  ε , L +  ε [  et  ] L' -  ε , L' +  ε [. sont disjoints.

                     Il est donc impossible qu'à partir du rang n' les termes de la suite (  un  ) soient dans chacun d'eux.

                       CONTRADICTION.

                         Conclusion: L'unicité de la limite finie est prouvée.

                       6. PROPRIETE

                                    Tout suite croissante et majorée converge ( c-à-d admet une limite finie )    Admis

                                     Tout suite décroissante et minorée  converge ( c-à-d admet une limite finie )   Admis

                                      Toute suite croissante non majorée diverge vers + ∞ .

                                       Toute suite décroissante non minorée diverge vers - ∞ .

                                      Explication:

                                     Soit     (  un  )  une suite  croissante non majorée .

                                     Soit A > 0 .  A ne peut majorer la suite ar elle est non majorée .

                                      L'un des termes dépasse A.                       

                                      Il existe donc un entier k  tel que uk > A

                                     Mais comme la suite est croissante tous termes d'indices

                                    supérieur à k vont dépasser aussi A .

                                    A partir d'un certain rang tous les termes de la suite dépassent A.

                                     La suite   (  un  ) diverge vers + ∞ .

                         7. Suite divergente vers   + ∞.

                                   Soit la suite (  un  ) .

                                  Les affirmations suivantes sont équivalentes:

                                   •   lim  un  = + ∞

                                        n →  + ∞

                                  •  La suite ( un ) admet   + ∞   comme  limite.

                                 •  La suite ( un ) diverge vers  + ∞ .

                                 • Quelque soit A > 0  il existe un rang à partir duquel les termes de la

                                   suite ( u) sont tous dans l'intervalle ] A ,  + ∞ [.                               

                                •  Pour tout A > 0  on peut trouver un entier naturel n0  tel que

                                   pour tout n dans IN ,   n > n0      =>  un   > A.

                         8.Exemple.

                            Soit la suite (  un  ) de terme général  un  = n2      pour tout n dans IN.

                           Méthode possible.

                               Soit A > 0 .

                                n2   > A  équivaut à    n  > √A   comme n positif.

                               Soit  n0   un entier naturel  tel que  n0  ≥   √A  .

                             Pour  tout entier naturel n ,    n > n0  implique   n  ≥   √A 

                              Ainsi    pour  tout entier naturel n , n > n0  implique   n2   > A 

                             Ainsi  pour tout A > 0  on peut trouver un entier naturel n0  tel que

                                   pour tout n dans IN ,   n > n0     =>  un   > A.                           

                            Conclusion :   lim  un  = + ∞

                                                           n →  + ∞

                         9.    Suite divergente .                                 

                                Une suite diverge quand :

                                           •  Soit elle n'a pas de limite.

                                          •  Soit elle admet    + ∞  ou   -  ∞  comme limite.            

                         10. Exemple de suite divergente.

                                   Soit  la suite (  un  )  telle que   un   =(  -  1 ) n   pour tout n dans IN .          

                                 Cette suite diverge car elle prend alternativement comme valeurs - 1 et 1.    

                     11. Limite d'une suite géométrique. Limite d'une suite arithmétique.

                           Soit  le réel q .

                             •  Si q > 1     alors   lim  qn   =     + ∞

                                                             n →  + ∞  

                           •  Si   0 < q  <  1   alors   lim  qn   =  0

                                                                    n →  + ∞  

                         Explication.

                          • Soit q > 1   

                              Il existe un réel strictement positif a tel que  1+ a = q

                            Ainsi    qn  = ( 1 + a )n 

                            Or l'inégalité de Bernoulli indique que :  

                                     ( 1 + a )n    ≥  1 + n a        ( Elle se montre par récurrence dans IN )

                             Mais      lim ( 1 + n a ) =  + ∞ 

                                              n →  + ∞ 

                       Donc           lim  qn  =  + ∞ 

                                              n →  + ∞ 

                   • Soit  0 < q <  1  .

                       On a :       1  / q  > 1

                     Donc     lm ( 1 / q )n  = + ∞

                                      n →  + ∞ 

                      Or       qn     =   1 /  ( 1 / q )n

                 Donc         lim  qn  =  1  /  + ∞  = 0  

                                    n →  + ∞ 

                On a bien  :     lim  qn  =  0  

                                             n →  + ∞ 

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