INFO EX 77 DV maison TS2 05 /12/11

         .     INFO     DV MAISON                    TS2             5/12/11

          EXERCICE  77 page 61

                Soit la fonction f : x → √( x2 + 2 x )

               a. Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

               b. Déterminer    limf ( x )

                                        x → + ∞

               c. Démontrer que la droite d'équation y = x + 1 est une asymptote

                        à la courbe de Cf  en + ∞.

               d . Tracer  Cf    et son asymptote dans un repère orthonormal.

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         Réponse:

                                                        courbe77.jpg

          a.  Sens de variation de f .

                Soit la fonction polynôme  u : x  → x2 + 2 x

               u est définie et dérivable sur IR.

               u > 0 sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [.

               Donc la fonction √u  , c'est-à-dire f , est définie et dérivable sur

                l'intervalle ] 0 , + ∞ [.

               Ainsi :   f ' = ( √u )' = u ' / ( 2 √u )

                On a :   u ' : x   → 2 x + 2

             Donc       f ' : x    →  ( 2x + 2  )  /  ( 2 √ ( x2 + 2 x ) )

               c-à-d       f ' : x    →  ( x + 1  )  /  √ ( x2 + 2 x )

               Comme x + 1 > 0    et     √ ( x2 + 2 x ) > 0   quand x > 0

             on a :         f ' >  0   sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [.

            Conclusion :  f est strictement croissante sur ] 0 , + ∞ [.

       b. Limite de f en + ∞.

           On a :        lim ( x2 + 2 x ) = + ∞.

                           x →  + ∞

                      et 

                             lim √X  =   + ∞

                              X →  + ∞

             D'où comme limite de la composée de deux fonctions

                           lim √( x2 + 2 x ) = + ∞

                           x →  + ∞

           Conclusion :      lim f( x ) = + ∞

                                    x →  + ∞

               c. Asymptote D : y = x + 1  en + ∞

              Soit x > 0

             On a :   f( x )- ( x + 1 ) = √( x2 + 2 x ) - ( x + 1 )

             c-à-d   en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée

 f( x )- ( x + 1 ) = [ √( x2 + 2 x ) - ( x + 1 ) ] [ √( x2 + 2 x ) +( x + 1 )] /  [ √( x2 + 2 x ) +( x + 1 )]

 c-à-d

 f( x )- ( x + 1 ) = [ ( √( x2 + 2 x ))2 - ( x + 1 )2 ] / [ √( x2 + 2 x ) + ( x + 1 ) ]

 c-à-d

 f( x )- ( x + 1 ) = [ x2 + 2 x  - ( x2 + 1+ 2 x ) ] / [ √( x2 + 2 x ) + ( x + 1 ) ]

c-à-d

 f( x )- ( x + 1 ) = - 1 / [ √( x2 + 2 x ) + ( x + 1 ) ]

     Or   √( x2 + 2 x ) + ( x + 1 ) > x + 1   sachant x > 0

           et     lim ( x + 1 ) = + ∞

                  x   → + ∞

  D'où       lim   ( √( x2 + 2 x ) + ( x + 1 ) )  =  + ∞

                 x   → + ∞

Ainsi   lim - 1 / [ √( x2 + 2 x ) + ( x + 1 ) ]  = -  1 / ( + ∞ ) = 0

           x   → + ∞

 Donc     lim ( f( x ) - ( x + 1 ) ) = 0

              x   → + ∞

           Conclusion : La droite D : y =x + 1 est bien une asymptote oblique

                       en + ∞  à la courbe de f .

   d. Courbe : Voir plus haut.

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