DS BTS1 B 10 AVRIL 09

                                Devoir surveillé       BTS1  B        Vendredi 10 avril 2009

       EXERCICE 1

        1.  Résoudre dans IR3   le système  linéaire suivant.

   2     x +     y +     z  =  0                                   
                    5 y - 7 z =  8
                            3 z  = 3

        2.  Triangulariser le système puis le résoudre.

        x +   2  y +     z  =  0                                   
        x  +  y  +  4 z         =  4
         x-  y - z = 1

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      EXERCICE 2             

         Soit les matrices : 

 /  0     1  -1  \
M = |  -3     4  -3   |
 \ -1     1   0  /

  

 /  1     0   0  \
I = |   0     1   0   |
 \  0     0   1  /

   1. Calculer M2 et M3 .

   2. Déterminer les réels a et b tels que  M2 = a M + b I .

            EXERCICE 3

       Le tableau ci-dessous est extrait d'une grille présentant les différents points d'une ville reliés par

 des lignes de transport en commun avec la durée des trajets en minutes .

 A ce tableau est associé un graphe dont les sommets sont A , B , C , D , F et G .

         →      A       B         C        D          E           F       G      
A        8                       3
B                        4         
C                          6      4
D       10         9                 
E                           
F         3                     
G           7                   

  Par exemple, dans le tableau, la cellule contenant le nombre 9 correspond à la durée ( 9 minutes)  

 du trajet du bus reliant le point de départ D au point d'arrivée C.

 1.Réaliser le tableau des prédécesseurs de ce graphe, et déterminer le niveau de chacun des sommets.  

PREDECESSEURS SOMMETS    NIVEAUX
     A      
      B        
   C      
    D        
     E     
    F    
    G    

 2. Dessiner le graphe en ordonnant les sommets par niveaux et en marquant la longueur de chaque arc. 

 3.  Déterminer le ou les trajets de durée minimale permettant d'aller de D à E.

( On détaillera la méthode utilisée.)