Suite 2 du cours: Nb Complexes

Suite 2 du cours: Nb Complexes

  SUITE 2 DU COURS SUR LES NOMBRESCOMPLEXES.             18 Juin 2009    TS

                  • Propriété.

                         Soit le vecteur vect( w ) d'affixe z.

                         Soit   λ       un réel.

                       Alors le vecteur  λ × vect ( w )   est d'affixe  λ   × z.

                      Explication:         z = a + i b

          Les deux coordonnées de vect( w ) sont ( a , b ).

          Les deux coordonnées de vect( w ) sont multipliées par    λ   .

          Les deux coordonnées de   λ × vect( w ) sont (   λ   × a ,   λ   ×b )

          Donc l'affixe de   λ × vect ( w )   est   :     λ   × a +   λ   × b  i =   λ   × ( a + i b ) .

                        c-à-d   l'affixe de   λ × vect ( w )   est:   λ   × z.

                 • Propriété.

                    Soit z et z' deux nombres complexes.

                     Alors on a :   z  = | z | ²

                     Si de plus  z ≠ 0  alors    1 / z    =      / | z | ²

                     et    z' / z   =  ( z'     ) / | z |²

                     Explication :            Soit      z = a + i b   et     z ≠ 0

                               1 / z =   / (  z    )

                           Or   z      = ( a + i b )  ( a - i b ) = a² - i² b² +  i b a -   i ab

                            comme    - i² = - ( - 1 ) = 1

                                             z      = a² + b²

                          Conclusion:     1 / z    =      / | z | ²

                          En multipliant par z'   on a :  z'  / z    =       z'   / | z |²

                     • Propriété.

                         Soit les points  A et B . Soit  λ et μ deux réels tels que   λ + μ ≠ 0 

                        Alors le barycentre G des points pondérés ( A ,  λ) et ( B , μ) est 

                       d'affixe :

                              zG  = (    λ zA  +  μ  zB ) / (  λ + μ  )

                       Explication:

                           C'est la traduction  pour les affixes de  l'égalité de

                            la propriété fondamentale: 

                          λ vect( OA ) +  μ vect( OB ) ) =     (  λ + μ  ) vect( OG )

                       c-à-d    vect( OG ) = ( 1 / (  λ + μ  )  ) (  λ vect( OA ) +  μ vect( OB ) )

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