Exemple 5 de sujet d'oral S

                       PREPARATION  DE L'ORAL                     Série S                 

               EXEMPLE DE SUJET:

               Thème :

       Limite, primitive, résolution graphique, existence et unicité de la solution d'une équation, probabilités. 

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            Vous disposez de 20 mn pour étudier les deux exercices ci-dessous.

            On  vous demande de préparer les réponses afin de pouvoir, au cours de l'entretien oral 

            de 20 mn, qui suivra, justifier votre démarche, vos conclusions.

            D'autres questions pourront vous être posées pour révéler vos connaissances

             sur le programme  de la classe de terminale S.   

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     EXERCICE 1

            1.a. Comment  prouver      lim ( e- x  cos x ) = 0      ?

                                                              x  + ∞

                b. Donner une primitive G de la fonction g: x → x  e 1 - 2  sur l'intervalle [ 0 , + ∞  [.

            2. a. Dans le graphique suivant quelle est la courbe de la fonction g ?

                          figure-oral-bac-s.png

                b. Utiliser le graphique pour résoudre l'équation g( x ) = 1   sur l'intervalle [ 0 ; 1 / 2 ].

                c. Comment peut-on justifier par le calcul l'existence et l'unicité de la solution α

                     de l'équation g( x ) = 1   sur l'intervalle [0 ; 1 / 2 ] ?

             3. Que représente sur le graphique l'intégrale de 0 à 1 de la fonction g ?

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            EXERCICE 2:

                   Une urne contient 3 boules blanches et deux boules noires.

                      urne-ex-oral-bac-s.png

                   On tire successivement au hasard trois boules de l'urne en ne remettant 

                   la boule tirée que si  elle est noire.

                  Pour chaque question l'une des trois affirmations proposées est exacte:

                  Vous devez préciser laquelle est exacte et comment peut-on s'en apercevoir.

               1. La probabilité de n'obtenir aucune boule blanche est:

                     a.       1 - 0,63   

                    b.         0,43          

                    c.          0,63                  

               2.   La probabilité d'obtenir trois boules blanches est exactement :

                      a.           0,63        

                      b.           0,1

                      c.           0,15

                3.  La probabilité d'obtenir une seule boule blanche est exactement:

                       a.           3 ×  1, 5 × 0, 42

                       b.             27 / 125

                       c.            0,366

              4.    La probabilité d'obtenir au plus une boule blanche est :

                           a.           1 - 0,43

                           b.           183 / 500

                           c.           0,43

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     INFO:

          EXERCICE 1                              

  1.a. Montrons:         lim ( e- x  cos x ) = 0      ?

                                       x → + ∞

           On a :                             - 1 ≤  cos x  ≤ 1     pour tout réel x

          or    exp > 0   sur IR.

          Donc:                      -  e- x ≤    e- x  cos x  ≤  e- x

            Mais:      

                            lim  e- x  =   0        car    lim( - x  ) = - ∞     et   lim exp( X ) = 0 

                            x → + ∞                             x → + ∞                  X →   - ∞

                     D'après le th.  des gendarmes on a bien:

                         lim ( e- x  cos x ) = 0    

                            x  + ∞

       b. Donner une primitive G de la fonction g: x →  e 1 - 2  sur l'intervalle [ 0 , + ∞  [.

                       La fonction      u : x  1 -  x2      est définie dérivable  sur IR.

                        On a  :   u ' : x   → - 2 x  e 1 - 2            

                       comme    g = - ( 1 / 2 )  u ' eu      sur IR 

                      On peut en conclure   que:    G = - ( 1 / 2 ) x   e 1 - 2                

                                       G : x   - ( 1 / 2 )  e 1 - 2                         

                      Conclusion :    G : x   - ( 1 / 2 )  e 1 - 2 

             

     2. a. Dans le graphique suivant quelle est la courbe de la fonction g ?

               C'est la courbe bleue  car c'est la seule qui ait  pour valeur 1 en x = 1.

                          figure-oral-bac-s.png

                          

                b. Utiliser le graphique pour résoudre l'équation g( x ) = 1   sur l'intervalle [ 0 ; 1 / 2 ].

                            La droite horizontale d'équation y = 1 coupe la courbe en un point d'abscisse 0,45.

                                 solutionprop.png

                c. Comment peut-on justifier par le calcul l'existence et l'unicité de la solution α

                     de l'équation g( x ) = 1   sur l'intervalle [0 ; 1 / 2 ] ?

                     Sur l'intervalle [ 0 ; 1 / 2] ,  la fonction g est définie  continue et strictement croissante.

                       (           Sa fonction dérivée   g : x ( 1 - 2 x2 )  e 1 - x 2    

                                 est  strictement positive sur l'intervalle [ 0 ; √2  / 2 ]     )

                     g ( 0 ) = 0  et  g( 0,5 ) ≈ 1,06 et  1  est compris entre  0 et 1,06.

                    Donc:

                  L'équation g( x ) = 1 admet bien une unique solution dans l'intervalle [ 0 , 1/2]             

             3. Que représente sur le graphique l'intégrale de 0 à 1 de la fonction g ?

                          g est définie et continue et positive sur  [0 ; 1 / 2 ].

                      C'est l'aire sous la courbe sur l'interalle [0 ; 1 / 2 ]   en unité d'aire.

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            EXERCICE 2.

                  Arbre:

                           arbreoral.png

         1. La bonne réponse est:      b.

             La probabilité d'avoir trois boules noires avec remise est 

              ( 2 / 5 ) × ( 2 / 5 ) × ( 2 / 5 ) =    ( 2 / 5 )3   =  0,43

          2. La bonne réponse est:     b .

                La probabilité d'avoir trois boules blanches est :

                           ( 3 / 5 ) × ( 2 / 4 ) × ( 1/ 3 ) = 0,1

          3. La bonne réponse est :     c.

                 La probabilité d'avoir une seule boule blanche est :

    ( 2 / 5 ) × ( 2 / 5 ) × ( 3 / 5 ) +    ( 2 / 5 ) × ( 3 / 5 ) × ( 2 / 4 )  +  ( 3 / 5 ) × ( 2 / 4 ) × ( 2 / 4 ) =  0,366 

            4. La bonne réponse est  c.

               La probabilité d'avoir au plus une boule blanche c'st-à-dire  trois  boules noires

               ou une boule blanche   est:

                    0,43    + 0,266 = 0,43

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