PREPARATION DE L'ORAL Série S
EXEMPLE DE SUJET:
Thème :
Limite, primitive, résolution graphique, existence et unicité de la solution d'une équation, probabilités.
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Vous disposez de 20 mn pour étudier les deux exercices ci-dessous.
On vous demande de préparer les réponses afin de pouvoir, au cours de l'entretien oral
de 20 mn, qui suivra, justifier votre démarche, vos conclusions.
D'autres questions pourront vous être posées pour révéler vos connaissances
sur le programme de la classe de terminale S.
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EXERCICE 1
1.a. Comment prouver lim ( e- x cos x ) = 0 ?
x → + ∞
b. Donner une primitive G de la fonction g: x → x e 1 - x 2 sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
2. a. Dans le graphique suivant quelle est la courbe de la fonction g ?
b. Utiliser le graphique pour résoudre l'équation g( x ) = 1 sur l'intervalle [ 0 ; 1 / 2 ].
c. Comment peut-on justifier par le calcul l'existence et l'unicité de la solution α
de l'équation g( x ) = 1 sur l'intervalle [0 ; 1 / 2 ] ?
3. Que représente sur le graphique l'intégrale de 0 à 1 de la fonction g ?
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EXERCICE 2:
Une urne contient 3 boules blanches et deux boules noires.
On tire successivement au hasard trois boules de l'urne en ne remettant
la boule tirée que si elle est noire.
Pour chaque question l'une des trois affirmations proposées est exacte:
Vous devez préciser laquelle est exacte et comment peut-on s'en apercevoir.
1. La probabilité de n'obtenir aucune boule blanche est:
a. 1 - 0,63
b. 0,43
c. 0,63
2. La probabilité d'obtenir trois boules blanches est exactement :
a. 0,63
b. 0,1
c. 0,15
3. La probabilité d'obtenir une seule boule blanche est exactement:
a. 3 × 1, 5 × 0, 42
b. 27 / 125
c. 0,366
4. La probabilité d'obtenir au plus une boule blanche est :
a. 1 - 0,43
b. 183 / 500
c. 0,43
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INFO:
EXERCICE 1
1.a. Montrons: lim ( e- x cos x ) = 0 ?
x → + ∞
On a : - 1 ≤ cos x ≤ 1 pour tout réel x
or exp > 0 sur IR.
Donc: - e- x ≤ e- x cos x ≤ e- x
Mais:
lim e- x = 0 car lim( - x ) = - ∞ et lim exp( X ) = 0
x → + ∞ x → + ∞ X → - ∞
D'après le th. des gendarmes on a bien:
lim ( e- x cos x ) = 0
x → + ∞
b. Donner une primitive G de la fonction g: x → x e 1 - x 2 sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
La fonction u : x → 1 - x2 est définie dérivable sur IR.
On a : u ' : x → - 2 x e 1 - x 2
comme g = - ( 1 / 2 ) u ' eu sur IR
On peut en conclure que: G = - ( 1 / 2 ) x e 1 - x 2
G : x → - ( 1 / 2 ) e 1 - x 2
Conclusion : G : x → - ( 1 / 2 ) e 1 - x 2
2. a. Dans le graphique suivant quelle est la courbe de la fonction g ?
C'est la courbe bleue car c'est la seule qui ait pour valeur 1 en x = 1.
b. Utiliser le graphique pour résoudre l'équation g( x ) = 1 sur l'intervalle [ 0 ; 1 / 2 ].
La droite horizontale d'équation y = 1 coupe la courbe en un point d'abscisse 0,45.
c. Comment peut-on justifier par le calcul l'existence et l'unicité de la solution α
de l'équation g( x ) = 1 sur l'intervalle [0 ; 1 / 2 ] ?
Sur l'intervalle [ 0 ; 1 / 2] , la fonction g est définie continue et strictement croissante.
( Sa fonction dérivée g : x → ( 1 - 2 x2 ) e 1 - x 2
est strictement positive sur l'intervalle [ 0 ; √2 / 2 ] )
g ( 0 ) = 0 et g( 0,5 ) ≈ 1,06 et 1 est compris entre 0 et 1,06.
Donc:
L'équation g( x ) = 1 admet bien une unique solution dans l'intervalle [ 0 , 1/2]
3. Que représente sur le graphique l'intégrale de 0 à 1 de la fonction g ?
g est définie et continue et positive sur [0 ; 1 / 2 ].
C'est l'aire sous la courbe sur l'interalle [0 ; 1 / 2 ] en unité d'aire.
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EXERCICE 2.
Arbre:
1. La bonne réponse est: b.
La probabilité d'avoir trois boules noires avec remise est
( 2 / 5 ) × ( 2 / 5 ) × ( 2 / 5 ) = ( 2 / 5 )3 = 0,43
2. La bonne réponse est: b .
La probabilité d'avoir trois boules blanches est :
( 3 / 5 ) × ( 2 / 4 ) × ( 1/ 3 ) = 0,1
3. La bonne réponse est : c.
La probabilité d'avoir une seule boule blanche est :
( 2 / 5 ) × ( 2 / 5 ) × ( 3 / 5 ) + ( 2 / 5 ) × ( 3 / 5 ) × ( 2 / 4 ) + ( 3 / 5 ) × ( 2 / 4 ) × ( 2 / 4 ) = 0,366
4. La bonne réponse est c.
La probabilité d'avoir au plus une boule blanche c'st-à-dire trois boules noires
ou une boule blanche est:
0,43 + 0,266 = 0,43
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