FEUILLE D'EX sur les prop de la fonction exp

       FEUILLES D'EXERCICES SUR LES PROPRIETES DE LA FONCTION  Exp                TS

             BUT : Découvrir progressivement des propriétés de la fonction exponentielle exp

  EXERCICE 1

           Soit u une fonction définie et dérivable dans IR telle que :

                   u ' = u  sur IR

                   u ( 0 ) = 1.

           1. Quel élément de preuve de l'existence de u pouvez-vous proposer ? 

           2. Soit la fonction v : x → u ( x ) × u ( − x )  qui est définie et dérivable sur IR

             comme produit et composée de fonctions définies et dérivables dans IR.

                Montrer que v est constante sur IR.           

           3. Quelle est la valeur de v sur IR?

           4. La fonction u peut- elle s'annuler dans IR ?  

              En déduire  u( − x )  en fonction de u ( x ) pour tout nombre réel x.

                  ( Déjà proposé et fait en classe )                  

           5. La fonction u peut- elle prendre des valeurs de signes contraires ?

                ( Déjà proposé et fait en classe. )             

           6. Pourquoi u > 0 sur IR ?            

           7. Quel est le sens de variation de u ?               

           8. Montrer qu'une telle fonction u est unique.

               ( Raisonner par l'absurde avec deux fonctions u et w telles que:

                         u = u '     sur IR  et   u( 0 ) = 1                     

                        w = w '     sur IR  et   w( 0 ) = 1   avec    u ≠ w

                 Considérer alors la fonction  u / w .  )              

               ( Cette unique fonction est appelée exp )

----------------------------------------------------------------------------------

     EXERCICE 2

                Soit  u la fonction définie et dérivable dans IR 

                telle que:

                               u ' = u sur IR

                                u (  0 ) = 1 

                ( Cette fonction qui existe et est unique est  la fonction exp )

                Soit la fonction auxiliaire g : x  u( a + b − x ) × u (x ) 

                définie et dérivable sur IR comme produit et composée

                de fonctions définies et dérivables dans IR où

                  a et b sont deux nombres réels .

        1.  Montrer que la fonction g est constante sur IR.

        2.  Trouver g( b ) et g (  0 ) . En déduire une égalité   u( a + b ) = u ( a )× u ( b )

                pour tout a et tout b dans IR.           

             (On écrit:

                 exp( a + b ) = exp ( a )× exp( b )   pour tout a dans IR  et b dans IR. )

        3. Dans l'exercice n° 1 on a vu que

                    u( - x ) = 1 / u ( x ) 

                    pour tout x dans IR.

             Déduire de la question précédente que :

                    u ( a − b ) =   u ( a ) / u ( b ) pour tout a et tout b dans IR.            

       (  On écrit :  

             On écrit :    exp( a  − b ) = exp( a ) / exp(  b )  pour tout a et tout b dans IR. )

-------------------------------------------------------------------------- 

   EXERCICE 3:         

                 Soit  u la fonction définie et dérivable dans IR 

                    telle que:

                               u ' = u            sur IR

                               u (  0 ) = 1 

                ( Cette fonction est la fonction  exp )

         1. Soit  x dans IR .

                 Etablir par récurrence sur IN que :

               ( u ( x ) )n =  u ( n x )   pour tout  n dans IN.         

             ( On écrit :

           ( exp (x ))n  = exp( n x ) pour tout n dans IN et pour tout x dans IR. )

         2.  En déduire  exp( n ) = ( exp (1 ) )n       pour tout n dans IN.                         

         3. En posant e = exp( 1 ). Que peut-on en déduire ?       

              ( On décide la généralisation de cette notation en posant : 

                                    exp( x ) =  x  pour tout x dans IR.  )

              Désormais l'unique fonction définie et dérivable sur IR 

             qui soit  égale à sa fonction dérivée et qui aît pour valeur 1 en 0

              et la fonction :    exp : x →  ex

------------------------------------------------------------------------------------------