FEUILLES D'EXERCICES SUR LES PROPRIETES DE LA FONCTION Exp TS
BUT : Découvrir progressivement des propriétés de la fonction exponentielle exp
EXERCICE 1
Soit u une fonction définie et dérivable dans IR telle que :
u ' = u sur IR
u ( 0 ) = 1.
1. Quel élément de preuve de l'existence de u pouvez-vous proposer ?
2. Soit la fonction v : x → u ( x ) × u ( − x ) qui est définie et dérivable sur IR
comme produit et composée de fonctions définies et dérivables dans IR.
Montrer que v est constante sur IR.
3. Quelle est la valeur de v sur IR?
4. La fonction u peut- elle s'annuler dans IR ?
En déduire u( − x ) en fonction de u ( x ) pour tout nombre réel x.
( Déjà proposé et fait en classe )
5. La fonction u peut- elle prendre des valeurs de signes contraires ?
( Déjà proposé et fait en classe. )
6. Pourquoi u > 0 sur IR ?
7. Quel est le sens de variation de u ?
8. Montrer qu'une telle fonction u est unique.
( Raisonner par l'absurde avec deux fonctions u et w telles que:
u = u ' sur IR et u( 0 ) = 1
w = w ' sur IR et w( 0 ) = 1 avec u ≠ w
Considérer alors la fonction u / w . )
( Cette unique fonction est appelée exp )
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EXERCICE 2
Soit u la fonction définie et dérivable dans IR
telle que:
u ' = u sur IR
u ( 0 ) = 1
( Cette fonction qui existe et est unique est la fonction exp )
Soit la fonction auxiliaire g : x → u( a + b − x ) × u (x )
définie et dérivable sur IR comme produit et composée
de fonctions définies et dérivables dans IR où
a et b sont deux nombres réels .
1. Montrer que la fonction g est constante sur IR.
2. Trouver g( b ) et g ( 0 ) . En déduire une égalité u( a + b ) = u ( a )× u ( b )
pour tout a et tout b dans IR.
(On écrit:
exp( a + b ) = exp ( a )× exp( b ) pour tout a dans IR et b dans IR. )
3. Dans l'exercice n° 1 on a vu que
u( - x ) = 1 / u ( x )
pour tout x dans IR.
Déduire de la question précédente que :
u ( a − b ) = u ( a ) / u ( b ) pour tout a et tout b dans IR.