INFO2 Feuille EX ANGLES ORIEN.

  INFO 2    FEUILLLE D'EX  SUR LES ANGLES ORIENTES    1S1  Nov 09

        5. Ex.  

            On considère connu le fait qu'une réflexion d'axe D change un angle

            orienté en son opposé.

            Soit A( a ) , B( b ) et C( c ) trois points du cercle trigonométrique.

            a. Montrer que le point C est l'image du point A par la réflexion

               d'axe ( OB ) si et seulement si  a + c =  2 b  [ 2Π ] .

           b. En déduire que les points A et C sont symétriques par rapport

               à l'axe des ordonnées si et seulement si   c  = Π - a  [ 2Π ] .

          c. A l'aide des coordonnées des points A et C trouver deux formules trigo.

          d. Etablir que les points A et C ont la même ordonnée  si et seulement si

              c = a  [ 2Π ]  ou  c = Π  - a  [ 2Π ] .

-----------------------------------------------------------------------

  Réponse:                            

                      a. 

                                

                                 C est l'image du point A par la réflexion  d'axe ( OB ) si et seulement si 

                                  

                            b. Considérons le point B ( Π / 2  ) du cercle trigo.

                               ( OB ) est alors l'axe des ordonnées.

                              On a :     b =  Π / 2.

                              d'après le c.n.s. découverte dans la question précédente

                               C est l'image du point A par la réflexion  d'axe ( OB ) si et seulement si 

                                 c + a  = 2 (  Π / 2  )    [ 2Π    ]

                              c-à-d

                             C est l'image du point A par la réflexion  d'axe ( OB ) si et seulement si 

                               c + a  =  Π    [ 2Π ].

                               c-à-d

                                C est l'image du point A par la réflexion  d'axe ( OB ) si et seulement si 

                               c   =  Π -  a     [ 2Π ]

                                 Donc :

                           Conclusion:

                                Les point A( a ) et C ( c ) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées

                                                                   si et seulement si 

                                                                       c   =  Π -  a     [ 2Π ]

                                c.  Considérons les points A( a ) et C( c ) symétriques

                                     par rapport à l'axe des ordonnées.

                                      On a :   c = Π - a  [ 2 Π]

                                      Les coordonnées du point  A sont ( cos a , sin a ).

                                      Les coordonnées du point  C sont ( cos c , sin c )

                                      c-à-d   ( cos ( Π- a  , sin (Π- a ) )).    

                                     Mais deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées

                                     ont la même ordonnée et des abscisses opposées.

                                                Alors on a : 

                      Conclusion:             cos( Π- a ) = - cos a

                                                           sin( Π- a ) =  sin a

                                    d. 

                                           •  Les points A( a )  et C( c)  ont la même ordonnée ssi

                                               ils sont confondus ou symétriques par rapport  à l'axe

                                              des ordonnées.

          Conclusion : Ainsi les points A( a )  et C( c)  ont la même ordonnée

                                         ssi  c = a  [ 2 Π]   ou c = Π  - a   [ 2 Π]

                                    •

                                        

                                        sin c = sin a  signifie que  les points A( a ) et C( c )

                                        ont la même ordonnée.

                    Conclusion : Ainsi     sin c = sin a    ssi     c = a  [ 2 Π]     ou  c = Π - a  [ 2 Π]