FEUILLE 3 D'EX. V.A. CONTINUES

              FEUILLE n ° 3 D'EXERCICES SUR LE V.A. CONTINUES     TS    Avril 3013

           EXERCICE 1 

            Soit X une variable aléatoire continue sur [ 0 ; 1 ] de loi de

           probabilité de fonction densité de probabilité la fonction:

                             f : t→  4 t

                  1. Vérifier que f est bien une fonction densité de probabilité.

                  2.Trouver P( 0,25 < X < 0,75 )

                  3. Donner son espérance.

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        REPONSE:

          1.Vérifions que f est bien une fonction densité de probabilité.

            Il est clair que la fonction polynôme f est définie continue

            et positive sur [ 0 ; 1 ].

            Une primitive de f est F : t → t4   

            Ainsi:   F( 1 ) - F( 0 ) = 1 - 0 = 1  

            Conclusion:

            f est donc bien une fonction densité de probabilité sur [ 0 ; 1 ].

            2. Calculons  P( 0,25 < X < 0,75 ).

                  On a   ainsi :         P( 0,25 < X < 0,75 ) = F( 0,75 ) - F( 0,25 )

                    c-à-d        P( 0,25 < X < 0,75 ) = 0,754  -   0,254   = 0,3125

                Conclusion :     P( 0,25 < X < 0,75 ) =  0,3125

            3.  Calculons E( X ) .

                    E( X ) = ∫1  t f( t ) dt  =   ∫1  4 t4  dt

                   Une primitive de la fonction t → 4 t4  

                    est:                  G : t  →(  4 / 5 )  t5  

                        G( 1 ) - G  ( 0 ) =  4 / 5    

                        Conclusion :  E( X ) = 4 / 5 

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       EXERCICE 2

                   Soit X une variable aléatoire continue sur [ 0 , + ∞ [

                    qui suit une loi exponentielle.

                     On sait que P( X > 3 ) = 0, 2

                   1. Déterminer le paramètre λ > 0  de la fonction densité

                        de probabilité. 

                   2.  Préciser l'espérance  de X.

                   3. Trouver  P( X < 5 ).

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             REPONSE:

                 1. Déterminons  le paramètre λ > 0.

                      On a:              P( X > 3 ) = e -  λ× 3     d'après le cours

                      Or                      P( X > 3 ) = 0,2           d'après l'énoncé

                      Donc                0,2  =  -  λ× 3

                            c-à-d             ln 0,2 = - 3 λ

                              c-à-d  comme    0,2 = 1 / 5

                            c-à-d             λ  = - (ln (1 / 5)) / 3 = ( 1 / 3 ) ln 5

                            c-à-d             λ ≈ 0,5364

              Conclusion :      λ  = ( 1/ 3) ln 5   

       2 . Donnons l'espérance:

            On a d'après le cours :     E( X ) = 1 / λ

            Donc :  

              Conclusion :           E( X ) = 3 / ln5 

                           E( X )  ≈  1,864

         3. Trouvons  P( X < 5 ).

               On a d'après le cours :

                         P( X < 5 ) = 1 -  e- ( 1 / 3 )× ln5 ×5         

               c-à-d  

                          P( X < 5] = 1  - e - (5/3)× ln5   

                  Conclusion:     P( X < 5 ) = 1  - e-(5/3)×ln5

                      P( X < 5 ) ≈ 0,9316  

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