FEUILLE n ° 3 D'EXERCICES SUR LE V.A. CONTINUES TS Avril 3013
EXERCICE 1
Soit X une variable aléatoire continue sur [ 0 ; 1 ] de loi de
probabilité de fonction densité de probabilité la fonction:
f : t→ 4 t3
1. Vérifier que f est bien une fonction densité de probabilité.
2.Trouver P( 0,25 < X < 0,75 )
3. Donner son espérance.
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REPONSE:
1.Vérifions que f est bien une fonction densité de probabilité.
Il est clair que la fonction polynôme f est définie continue
et positive sur [ 0 ; 1 ].
Une primitive de f est F : t → t4
Ainsi: F( 1 ) - F( 0 ) = 1 - 0 = 1
Conclusion:
f est donc bien une fonction densité de probabilité sur [ 0 ; 1 ].
2. Calculons P( 0,25 < X < 0,75 ).
On a ainsi : P( 0,25 < X < 0,75 ) = F( 0,75 ) - F( 0,25 )
c-à-d P( 0,25 < X < 0,75 ) = 0,754 - 0,254 = 0,3125
Conclusion : P( 0,25 < X < 0,75 ) = 0,3125
3. Calculons E( X ) .
E( X ) = ∫0 1 t f( t ) dt = ∫0 1 4 t4 dt
Une primitive de la fonction t → 4 t4
est: G : t →( 4 / 5 ) t5
G( 1 ) - G ( 0 ) = 4 / 5
Conclusion : E( X ) = 4 / 5
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EXERCICE 2
Soit X une variable aléatoire continue sur [ 0 , + ∞ [
qui suit une loi exponentielle.
On sait que P( X > 3 ) = 0, 2
1. Déterminer le paramètre λ > 0 de la fonction densité
de probabilité.
2. Préciser l'espérance de X.
3. Trouver P( X < 5 ).
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REPONSE:
1. Déterminons le paramètre λ > 0.
On a: P( X > 3 ) = e - λ× 3 d'après le cours
Or P( X > 3 ) = 0,2 d'après l'énoncé
Donc 0,2 = e - λ× 3
c-à-d ln 0,2 = - 3 λ
c-à-d comme 0,2 = 1 / 5
c-à-d λ = - (ln (1 / 5)) / 3 = ( 1 / 3 ) ln 5
c-à-d λ ≈ 0,5364
Conclusion : λ = ( 1/ 3) ln 5
2 . Donnons l'espérance:
On a d'après le cours : E( X ) = 1 / λ
Donc :
Conclusion : E( X ) = 3 / ln5
E( X ) ≈ 1,864
3. Trouvons P( X < 5 ).
On a d'après le cours :
P( X < 5 ) = 1 - e- ( 1 / 3 )× ln5 ×5
c-à-d
P( X < 5] = 1 - e