INFO 1 DV n° 7 1S 27 mars 2010

                INFO 1           DV n ° 7    1S1                     du  27 mars 2010  reporté au 17 /04 /10

                  EXERCICE 1  

                 Le plan est muni d'un repère orthonormal  ( O ; vect ( i ) , vect( j )  ) .              

                  ( Unité graphique : 1 cm )

                Soit la fonction f : x  → ( x² - 3 x ) / ( x + 1 )   définie dans IR- { - 1 }.

                Soit C sa courbe représentative.

              1. Trouver sa fonction dérivée f '.                 

                  On a :  f = u / v 

                  avec     u : x  →  x² - 3 x      et   v : x →  x + 1   .

                 u et v sont deux fonctions définies et dérivables

                 sur IR - { - 1 } avec v non nulle sur IR - { - 1 }.

                 Donc f est définie et dérivable dans  IR - { - 1 }.

                 On a :     f ' = ( u / v )' = ( v u ' - u v ' ) / v²

                On a :  u ' : x  → 2 x - 3       et   v : x →  1

                Soit x dans IR - { - 1 } .

                 On a : 

                f ' ( x ) =  [( x + 1 ) ( 2 x - 3 ) - (  x² - 3 x  ) 1 ] /( x + 1 )2   

               c'est-à-dire

                 f ' ( x ) =  [ 2 x² - 3 x + 2 x - 3 -  x² +  3 x   ] /( x + 1 )2   

                   c'est-à-dire

                 f ' ( x ) =  (  x²  + 2x - 3  ) / ( x + 1 )2 

          Conclusion:  f ' : x  → (  x²  + 2x - 3  ) / ( x + 1 )2 

 

                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     2. Donner le signe de f '( x )  suivant x dans  IR- { - 1 }.

                 f '( x ) est un quotient dont le dénominateur est strictement positif

                pour tout x dans  IR - { - 1 }.

                  f '( x ) est donc le signe du numérateur .

                  x²  + 2x - 3  admet  1  comme racine évidente.

                  L'autre racine est donc  c / a = - 3.

                 La règle des signes d'un trinome  du second degré

                 permet de donner le signe de  x²  + 2x - 3 . 

                  a = 1  

                Donc a > 0

                Conclusion:          

x  - ∞   -3        -1        1     + ∞  
f ' ( x )   +      0    -   ||  -   0  +

              3. Dresser le tableau de variation de f.               

x          - ∞        -3       -1           1          + ∞                                              
f '(x)     +          0    -   ||    -      0     +
f( x )        ↑      -9    ↓    ||     ↓    - 1     ↑  

   4. a. Déterminer  f( x ) - ( x - 4 ) pour tout x dans IR.

          On peut utiliser d'abord la division:          

x² - 3 x  |  x + 1
- ( x2 + x ) | x -  4
         - 4 x |
         - ( - 4 x - 4 ) |
                       4

           Ainsi :

                  x² - 3 x =  ( x - 4 ) ( x + 1 ) + 4

              Donc:

              ( x² - 3 x / ( x + 1) = x - 4 +  4 / ( x + 1 )   pour tout x dans IR - { - 1}.   

             Conclusion:

             f( x ) = x - 4 +  4 / ( x + 1 ) pour tout x dans IR - { - 1}.                

                 b. Montrer que  lim (  f( x ) - ( x - 4 ) )  = 0                       

                                          x  → + ∞

                      Que peut-on en déduire pour la courbe ( C ) de f  en  + ∞ ?

                 On a vu que :

                   f ( x ) = x - 4 +  4 / ( x + 1 )   pour tout x dans IR - { - 1}.   

                 Donc :    f( x ) - ( x - 4 )  = 4 / ( x + 1 ) pour tout x dans IR - { - 1}

                  Or :   lim 4 / ( x + 1 ) = 0

                           x  → + ∞

              D'où : 

                           lim (  f( x ) - ( x - 4 ) )  = 0                       

           Conclusion:  La courbe de f admet une asymptote oblique  d'équation y = x - 4  en  + ∞.

                 c.Tracer la courbe ( C ) de f  ainsi que les droites D: y = x - 4  et

                     D ' : x = - 1 dans le même repère.

                     Les deux droites D et D ' sont deux asymptotes pour la courbe de f.

                    Il est impératif de les tracer même quand ce n'est pas demandé.

                    En effet la courbe s'en rapproche. C'est donc une précieuse indication.

                    

               5. Donner une équation de la tangente T à ( C )  au point d'abscisse 2.

                  Considérons     y = f ' (a ) ( x - a ) + f( a )      avec   a = 2.

                     On a : 

                            f ' ( 2 ) =  (  2² + 2 × 2 - 3 ) / ( 2 + 1 )² 

                     c-à-d         f '( 2 ) = 5 / 9

                      f( 2 ) = - 2 / 3

                 En reportant on a :

                    y = ( 5 / 9 ) ( x - 2 ) - 2 / 3

               c-à-d      y = (  5 / 9 ) x -  10 / 9 - 6 / 9

               c-à-d         y = (  5 / 9 ) x -  16 / 9 

          Conclusion:   La tangente  T à la courbe de  f a comme équation réduite

                                  y = (  5 / 9 ) x -  16 / 9 

         6. Soit K le point d'intersection des droites D et D '.

                    Considérons le système des deux équations des deux droites D et D '

                    pour obtenir les coordonnées de K.

                         y = x - 4  

                         x = - 1   

                       On obtient :     x = - 1

                                              y = - 5     

                     Conclusion:   Le point recherché est K ( -  1 ; - 5 ) . 

 

 

                a. Donner la nouvelle équation de ( C ) dans le nouveau repère

                   .

                          Dans le repère d'origne O l'équation de  ( C  ) est  y = f( x ).

                          Dans le nouveau repère d'origine K l'équation de ( C ) sera Y = g( X ).

                            Remplaçons   x  et y   dans  y = f( x ) 

                                   c-à-d      dans  y = x - 4 + 4 /  ( x + 1 )   avec x  distinct de  - 1

                                 à l'aide des formules de changement de repère par changement d'origine:

                               x = xK   + X           c-à-d    x = - 1 + X

                               y =  yK   + Y            c-à-d     y =- 5 + Y

                             On obtient : 

                                - 5 + Y = - 1 + X - 4 +  4 / ( - 1+ X + 1 )         avec   X non nul 

                                      Y = X + 4 / X      avec   X non nul 

                           On pose :

                                  g( X ) = X + 4 / X  

       Conclusion:  La nouvelle équation   Y = X + 4 / X  est   avec   X non nul                            

                b. Etudier la parité de la fonction g.

                     g est-elle impaire .                    

                     En effet:

                         Son domaine de définition IR*  est centré en 0 .

                        De plus :

                           g( - X ) = - g ( X ) pour tout  x dans  IR*  .

                          car    g(  - X ) =  -  X + 4 / ( - X ) = - (  X + 4 / X     ) = - g( X )      

                    En déduire une particularité de la courbe ( C ) de g.

                     On peut alors dire que point K est une centre de symétrie de

                      la courbe de g donc de la courbe de f.