INFO QUESTION3 EX2 S JUIN 10

                                                                 INFO   FIN DE L'EX 2  BAC S     22 JUIN 2010

                 EXERCICE 2 

                        QUESTION  3

                          Soit a un réel positif.

                         Soit   les suites ( u ) et ( v ) de termes généraux :

                               un     = 1 - 1 / n                   vn   = ln ( a + 1 / n )

                             pour tout n dans IN*.

                    Regardons s'il existe une valeur de a de façon que les suites

                    soient adjacentes.

                 •      Une condition nécessaire ( mais non suffisante )

                         est  que  les deux suites aient la même limite.

                    Or    lim ( 1 - 1 / n )  = 1

                           n → + ∞   

                  c-à-d 

                           lim  un  =     1

                           n → + ∞   

                     De plus                lim ( a + 1 / n )  =    a   

                                                    n → + ∞  

                       Si   a > 0   alors la continuité de ln en a  fait que :

                                                      lim ln( a + 1 / n )  = ln a

                                                    n → + ∞  

                                            ln a = 1   se traduit  par a = e

                                Ainsi une condition nécessaire est : a = e

                •        Voyons si cette condition suffit.      

                             Prenons a = e , regardons si les deux suites sont adjacentes. 

                             ¤       La suite ( u ) est croissante sur IN*.

                                       En effet :  

                                       

                               ¤       La suite ( v ) est décroissante sur IN*.

                                       En effet:    a = e  .

                                                   Soit n dan IN* quelconque.

                       On a:                               1 / n >  1 / ( n + 1 )

                        Donc :                       a + 1 / n > a +  1 / ( n + 1 ) > 0

                                         Comme la fonction ln est strictement croissante

                                         sur les réels strictement positifs  on a:

                                          ln ( a + 1 / n  ) > ln( a + 1 / ( n + 1 ) )

                c-à-d                                 vn   >   vn + 1

                                        Ainsi :  La suite ( v ) est bien décroissante sur IN*.

                                  ¤ Dans le cas où a = e , elles ont la même limite 1

                                    Donc :            lim(  vn   -   un   ) = 1 - 1 = 0      

                                                            n    → + ∞  

                                  c-à-d             lim(  vn   -   un   ) =  0      

                                                            n→ + ∞  

                          Conclusion : OUI . Le seul réel a pour lequel les deux suites sont

                                                   adjacentes est a = e

 

 

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