TEST POISSON - BINOMIALE BTS

       Nom:                      Prénom:                Date:                   Classe: BTS1  SIO Maths approfondies                    

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         Les I , II , III sont indépendants.

     I • Une urne contient     4 boules rouges   et  6 boules noires.     

                                                                                     

              • •  On tire simultanément deux boules de l'urne.

                    On note A l'événement " Avoir des boules de la même couleur"

                    Trouver P( A ).

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               • • On répète 15 fois le tirage simultanément de deux boules de l'urne.

                    Soit X la variable aléatoire qui indique le nombre de fois que les deux boules

                    sont de la même couleur.

            • • • Donner la loi de probabilité de X.

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            • • • Quelle est la probabilité que l'on ait  trois fois les deux boules de la même couleur?

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            • • • Quelle est la probabilité que l'on ait au moins une fois les deux boules

                   de la même couleur?

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                   • • On veut prolonger X par une variable aléatoire Y de loi de poisson

                        de paramètre λ > 0 .

                 • • • Sachant que l'on prend systématiquement pour λ  l'espérance de X ,

                         donner λ .

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                 • • • Trouver P( Y = 3 ).

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               • • • Trouver P( 2 < Y ≤ 5 ). 

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        II  • La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  λ > 0.

            • •  Trouver    λ sachant que P( X = 0 ) = 0,135.

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              • •  Calculer P( X  ≥ 2 ).

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              • •  Donner l'espérance E ( X ).    

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      III •  Dans une urne il y a 5 cartons rouges , 2 cartons blanxs  et 3 cartons verts.

           Un joueur tire au hasard trois cartons simultanément de l'urne.

           Si les 3 cartons sont rouges  il gagne 5 euros , s'il obtient 3 cartons verts il gagne 3 euros,

           dans les autres cas il n'obtient rien. Pour jouer le joueur doit payer 4 euros.

           Soit x le gain algébrique du joueur. 

           * Donner la loi de X.  

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          *  Donner L'espérance E( x ).

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           * Trouver P( X > 0 ) .

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          • •   Soit n un entier naturel tel que n > 1 . 

                Le joueur  n fois de façon indépendante. Soit Y la variable aléatoire qui indique

                le nombre de fois que le gain est strictement positif.

                   Trouver P( Y  ≥  1 ) en fonction de n.

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                  Quel est le plus petit entier n tel que P( Y ≥  1 )   ≥ 0,99 .   

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