INFO DS n° 6 1S1 mercredi 17 février 2010
EXERCICE 2 5 POINTS
Soit la fonction g : x→ 2 x3 - 3 x2 - 36 x + 1.
1.a. Trouver la fonction dérivée g ' de la fonction g.
b. Montrer que g' ( x ) = 0 ssi x² - x - 6 = 0 , pour tout dans IR.
2. Donner le signe de g '( x ) suivant x dans IR.
3. a. Calculer g( 1 ) et g ' ( 1).
b. On rappelle que : g( 1 + h ) ≈ g( 1 ) + h g' ( 1 ) pour h voisin de 0.
En déduire une approximation affine de g( 1,2 ).
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Réponse:
1. a. Donnons la fonction g '.
La fonction g est une fonction polynome.
Elle est définie et dérivable dans IR.
g ' : x→ 2 ( 3 x² ) - 3( 2 x ) - 36
Donc
Conclusion : g ' : x → 6 x² - 6 x - 36 sur IR
b. Montrons l'équivalence demandée.
On a : g ' ( x ) = 0 ssi 6 x² - 6 x - 36 = 0 pour tout x dans IR .
c-à-d
Conclusion: g ' ( x ) = 0 ssi x² - x - 6 = 0
2. Donnon le signe de g ' (x ) .
Δ = b² - 4 a c
c-à-d Δ = 1 - 4 ( - 6 ) = 25 = 5²
Δ > 0
Il y a deux racines distinctes.
( - b - √ Δ ) / 2 a = ( 1 - 5 ) / 2 = - 2
( - b + √ Δ ) / 2 a = ( 1 + 5 ) / 2 = 3
a = 1
Donc a > 0
D'après la règle des signes d'un trinome du second degré on a :
Conclusion:
g '( x ) > 0 quand x < - 2 ou x > 3
g '( x ) < 0 quand - 2 < x < 3
3. a. Calculons g( 1 ) et g ' ( 1 ) .
g( 1 ) = 2 - 3 - 36 + 1 = - 36
g ' ( 1 ) = 6 ( 1 - 1 - 6 ) = - 36
Conclusion : g( 1 ) = - 36 et g ' ( 1 ) = - 36
b. Donnons une valeur approchée de g( 1 , 2 ).
On a : g( 1 , 2 ) = g( 1 + 0 , 2 ),06
On sait que: g( 1 + h ) ≈ g ( 1 ) + h g ' (1 ) pour h voisin de 0 .
Considérons h = 0 , 2
En reportant il vient : g( 1 , 2 ) ≈ - 36 + 0,2 ( - 3 6 )
Conclusion : g( 1 , 2 ) ≈ - 43, 2
( Cette valeur est proche de - 43,06 )
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