INFO 2 DS n° 6 1S1 17/02/10

             INFO    DS n° 6               1S1   mercredi 17 février 2010                         

                    EXERCICE 2              5 POINTS

                     Soit la fonction g : x→  2 x3 - 3 x2 -  36 x + 1.

         1.a. Trouver la fonction dérivée g ' de la fonction g.
            b. Montrer que g' ( x ) = 0  ssi    x² -  x - 6 = 0 , pour tout dans IR.
         2. Donner le signe de  g '( x )  suivant x dans  IR.
         3. a. Calculer g( 1 ) et  g ' ( 1).
             b. On rappelle que : 
g( 1 + h ) ≈ g( 1 ) + h g' ( 1 ) pour h voisin de 0.
                 En déduire une approximation affine de g( 1,2 ).

------------------------------------------------------------------------------------
       Réponse:

           1. a. Donnons la fonction g '.

                 La fonction g est une fonction polynome.

                 Elle est définie et dérivable dans IR.

                 g ' : x→  2 ( 3 x² ) - 3( 2 x ) - 36

                 Donc

              Conclusion :    g ' : x →  6 x²  -  6  x   - 36      sur IR

             b.  Montrons l'équivalence demandée. 

                On a :      g ' ( x ) = 0    ssi     6 x²  -  6  x   - 36 = 0     pour tout x dans IR .

                 c-à-d 

                  Conclusion: g ' ( x ) = 0    ssi      x²  -   x   - 6  = 0 

              2.   Donnon le signe de g ' (x ) .

                       Δ = b² - 4 a c

                c-à-d      Δ =  1 - 4 ( - 6 ) = 25 = 5²

                             Δ > 0

                   Il y a deux racines distinctes.

                       ( - b -  √ Δ  ) / 2 a = ( 1 - 5 ) / 2 = - 2

                       ( - b  +  √ Δ  ) / 2 a = (  1 + 5 ) / 2 = 3

                   a = 1   

                  Donc a > 0

                 D'après la règle des signes d'un trinome du second degré on a :

                  Conclusion:  

                            g '( x ) > 0   quand    x < - 2 ou x > 3  

                            g '( x ) < 0    quand     -  2 < x < 3    

                   3.   a. Calculons g( 1 ) et g ' ( 1 ) .

                          g( 1 ) = 2 - 3 - 36 + 1 =  - 36

                          g ' ( 1 ) = 6 ( 1 - 1 - 6 )  = - 36

                       Conclusion :  g( 1 ) = - 36     et  g ' ( 1 ) = - 36 

                         b. Donnons une valeur approchée de g( 1 , 2 ).

                  On  a  :              g( 1 , 2 ) = g( 1 + 0 , 2 ),06

                  On sait que:          g( 1 + h )  ≈  g ( 1 ) + h g ' (1 )  pour h voisin de 0 .

                   Considérons  h = 0 , 2

                  En reportant il vient :     g( 1 , 2 )  ≈  - 36 + 0,2 ( - 3 6 )

                      Conclusion :       g( 1 , 2 )  ≈  - 43, 2 

                            ( Cette valeur est  proche de - 43,06 )

----------------------------------------------------------------------