NOTES DS n ° 6 17 / 02 / 10

                           TABLEAU  D'HONNEUR                 DS n° 6         2 H     17 février 2010      

      Commentaire:   

         Manque de logique et de réflexion dans beaucoup de copies.

        Les affirmations doivent être soumises à réflexion avant d'être validées.

        La rigueur du travail en dépend.  

        TOUTES LES QUESTIONS doivent être anoncées de façon brève.

        Comme " 1. Trouvons les réels a , b , c ."

         TOUTES LES QUESTIONS doivent comporter une conclusion.

         Comme"  Conclusion : a = 1   b = - 1  c = 1 ."

          Les conclusions doivent impérativement  être isolées du texte, donc entourées

          même sans la règle.

          La lecture de la copie doit permettre de voir en priorité les résultats.

          L'écriture doit être lisible. Le brouillon permet de réfléchir à côté.

         Si la marge n'est pas déjà faite vous devez impérativement la faire

         avec une largeur normale.

      • 

        Dans le premier exercice on donne une fonction f : x → ( x² - x + 1 ) / x   

       définie sur les réels non nuls.

       On demandait de l'écrire  sous la forme  f : x → a x + b + c / x

         La réponse est normalement instantanée! 

        x divise chaque terme de la somme x² - x + 1.

         On a donc :      f : x →  x  - 1  +  1 / x     sur les réels non nuls. 

         ATTENTION :     - x / x = - 1      pour x non nul.      

         Le   - 1    est remplacé par 0 dans  beaucoup de copies...

          a , b , c  ne peuvent en aucun cas dépendre de x.    

      • 

                f ' : x  → ( x² - 1 ) / x²     sur les réels non nuls.

           On demandait le signe de f '( x )  quand x est non nul.

            La réponse instantanée est que:

             f '( x ) est du signe de x² - 1 quand x est non nul.     

            Or         x² - 1 =  ( x - 1 ) ( x + 1 )  .  Les racines sont - 1 et  1. 

          LA REGLE DES SIGNES D'UN TRINOME DU SECOND DEGRE  indique:

                 ( x - 1 ) ( x + 1 )    est du signe de a =1 quand x < - 1  ou  x > 1.

                  ( x - 1 ) ( x + 1 )    est du signe de - a = - 1 quand          -1 < x < 1. 

            Le tableau de variation devenait une évidence!

            Dans beaucoup de copies on lit que f ' ( x ) était toujours positif 

            sans tenir aucun compte du numérateur  x² - 1....

            On a :

                 •       

                  Comme f '(  1 ) = 0  le coefficient directeur de la tangente à la courbe

                 de f au point d'abscisse 1 est  instantanément 0.

                  La tangente  est donc HORIZONTALE.

                  Son équation est ainsi y = f(  1 ) . Mais f( 1 ) = ( 1² - 1 + 1 )  / 1² = 1

                  On obtient  y = 1.

                   Cette réponse a été très peu donnée.

                   Dans certaines copies on trouve même  1 pour le coefficient directeur

                    au lieu de 0  ...

                   •   

                  Pour avoir l'équation réduite de la tangente T au point  A( 2 ; 1,5 )

                  il fallait remplacer  f '( 2 ) et f ( 2 ) dans    y = f '( 2 )( x - 2 ) + f(  2)

                  Or l'énoncé donnait   f ' ( x ) =  ( x² - 1 ) / x²      pour x non  nul .

                   Donc   f '( 2 ) = ( 4 - 1 )/ 4 = 3 / 4

                   Cette valeur a été peu donnée...

                    f ( 2 ) = 1,5    c'est l'ordonnée de A . ( Elle est donnée ! )

                   On obtient:      y = ( 3 / 4 ) x  pour l'équation réduite de T .

                   Un candidat a proposé  y = ( x² - 1 ) / x²  + 0,75 comme équation de T ..

                 •       pour x = 0     y = ( 3 / 4 ) x     donne y = 0

                          pour x = 2     y = ( 3 / 4 ) x     donne y = 1,5

                        En deux lignes on voit que T passe par l'origine et par A !

                        Ces résultats sont contestés dans certaines copies....

                 •    

                   Soit x dans IR.

                   Si   g '( x ) = 6 x² - 6 x - 36   alors   g ' ( x ) = 6 ( x² - x - 6 ).

                   IL N'EST PAS POSSIBLE d'écrire  g ' ( x ) =  x² - x - 6                     

                     Par contre   on peut dire   ( 1 / 6 ) g ' ( x ) =  x² - x - 6 .

                      Cela a entraîné des erreurs sur g ' (  1 ) qui est - 36 et non - 6.

                     On ne peut pas écrire :  g' ( x² )   pour dire  2x

                                                         ou g '( - 3 x² ) pour dire - 6 x.

                   La lettre g a une signification précise comme g '.

                    Vous pouvez par contre dire  .

                   Soit   u: x  → x² .   Alors   u ' : x  → 2 x

                   Soit   v: x  → - 3x² .   Alors   v ' : x  → - 6 x

                   L'approximation affine de g( 1,2) a été peu trouvée.

                  g(1,2 ) = g( 1 + 0, 2 )      

                On  a   g( 1,2 ) =  g( 1 + h )      avec h = 0,2

                 Il fallait donc remplacer simplement h par 0,2 dans la formule...

                    •        

                  Il ne suffit pas de dire qu'un triangle ABC est équilatéral pour avoir

                  répondu sur la nature du triangle.

                  Il faut impérativement le prouver.

                  La lecture à la règle des longueurs des côtés ne suffit pas au niveau "lycée" et

                  encore moins en 1S.

                 Prouver qu'il est isocèle en C car l'axe des ordonnées ( OC ) est la médiatrice de [AB]

                 est déjà un début. Il suffit après de montrer que par exemple AC = AB

                       •      

                     La médiatrice passe par le milieu I du segment [AC] et est de vecteur normal  

                         vect( AC ).  

                     Dans a x + b y + c = 0  il faut remplacer  a et b par les  coordonnées de vect( AC ).

                    Le point I permet de trouver c . Il suffit de remplacer  x et y par les coordonnées de I.

                       •    

                          Le centre Ω d'un triangle ABC équilatéral est aussi son centre de gravité.

                        Si ( OC ) est la médiane issue de C

                         alors  Ω est tel que vect( O Ω ) = (1 / 3 ) vect( OC ).

                        Le point C ayant pour coordonnées ( 0 ; 2 √3 ) on instantanément celles de  Ω

                        en divisant par 3.

                              Ω ( 0 ; (  2 √3 ) / 3 )

                       Le cercle circonscrit au triangle est de centre  Ω .

                       ATTENTION.  Il n'est pas de diamètre [AB]...

                       Le rayon du cercle ne nécessite pratiquement pas de calculs.

                      C'est      Ω C = ( 2 / 3 ) OC       Or  OC =  2 √3   c'est l'ordonnée de C.

                                    O Ω  =( 2 / 3 )  2 √3 = 4 √3 / 3

                       •    

                       Le point D a été très souvent mal placé. 

                         ABCD est un parallélogramme.

                        On doit rencontrer  A puis B puis C puis D en tournant toujours

                       dans le même sens. ( ici direct)

                        On a :   vect( AB ) = vect (DC )

                         Cette simple égalité se traduit au niveau des coordonnées des vecteurs.

                         Celles de D en résultent. 

                      •                 

                    Cette question plusieurs fois rencontrées n'a pas obtenu

                    beaucoup de bonnes  réponses.

                    C'est pourtant une question "TYPE ".

                 (  vec( MA ) + 2 vect( MB )  ) . (      vect( MA ) - 2 vect( MB ) ) = 0         ( 1 )

                      s'écrit         3 vect( MG )  . (    - vect( MG' )     ) = 0 à l'aide de la prop. fond.

                       c-à-d       vect( MG ) . vect( MG' ) = 0

                   L'ensemble W des points M tels que (  1 ) est le cercle de diamètre [GG' ].

                      ATTENTION   on n'a pas une droite ....

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