INFO 4 EX . BARYCENTRE 2
EX 8
1. Le point I d'intersection de la droite ( AG ) avec le plan ( BCD) est le centre de
gravité du triangle BCD.
En effet:
Le point G est le barycentre des points pondérés (A , 1 ) , ( B , 1 ) , ( C , 1) , ( D ,1 ).
Or les points ( B , 1 ) , ( C , 1) , ( D ,1 ) peuvent être remplacés par le centre de gravité J
du triangle BCD.
G apparait alors comme le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( J , 3 ).
Les points A , G , J sont alignés. J appartient au plan ( BCD ).
Le point J est le point d'intersection de la droite ( AG ) avec le plan ( BCD ).
J = I
Conclusion. La droite (AG ) coupe le plan (BCD) en I qui est le centre de gravité du triangle BCD.
2. On a: vect( AG ) = ( 3 / 4 ) vect( AI ) .
Cela permet de placer G.
3. Soit M dans le segment [ AB ].
a. Comme M est sur un segment du plan (ABG ) , M est dans le plan (ABG).
b. L'intersection des plans (ABG ) et ( BCD) est la droite ( BL )
avec L le milieu du segment [CD].
En effet: • Le point I est sur la droite ( BL ), médiane issue de B
dans le triangle BCD.
Le point I est sur la droite ( AG ).
Le point I est donc dans l'intersection des plans ( BCD) et (ABG).
• B est commun aux plans ( BCD) et (AGB).
On a bien la droite ( BI ) c-à-d ( BL ) qui est la droite d'intersection
des plans ( BCD) et (AGB ).
c. Soit M un point autre que F dans le segment [AB].
vect(AF) = ( 3 / 4 ) vect( AB ) .
vect(AG) = ( 3 / 4 ) vect( AI ) .
La droite (FG) est donc parallèle à la droite ( BI )
La droite ( MG) , qui n'est pas la droite ( FG ), est dans le plan (ABG).
Dans le triangle ABI la droite (MG) ,dans ce cas, n'est pas parallèle à la droite ( BI ).
Ainsi la droite (MG ) n'est pas parallèle à la droite (BL), dans le plan (AGB ).
La droite (MG) coupe la droite ( BL) en un point N .
La droite ( BL ) , étant la droite d'intersection des plans (BCD )et ( ABG),
N est le point d'intersection de la droite ( MG ) avec le plan (BCD).
Quand M va décrire le segment [AB] privé du point F , le point N va
décrire une partie de la droite (BL).