INFO EX3 EPREUVE BTS MATRICE

  INFO  EXERCICE 3   D'UNE EPREUVE DE BTS  SUR LES     MATRICES                Mars 2009

      EXERCICE 3              5 POINTS

         Soit les matrices 

  M = 

 /   0 1    - 1   \
|  - 3 4 - 3     |
 \ - 1 1   0    /

 I =

 /  1 0 0  \
|    0 1 0    |
 \   0 0 1  /

   1. Calculer M2 et M3 .

     Directement à la calculatrice on a :

          M2  =  

 /   - 2 - 3   \
|     - 9 10 - 9    |
 \   - 3 3 - 2   /

       M=

 /   - 6 7 - 7    \
|     - 21 22 - 21    |
 \   - 7 7 - 6    /

   2. Déterminer les réels a et b tels que  M2 = a M + b I .

        Il apparait  que   a M + b I =      

 /   b a    - a   \
|  - 3a 4 a + b - 3a     |
 \ - a a    b   /

  L'égalité M2 = a M + b I  se traduit par :

    b = - 2           a = 3    

    3. Exprimer alors  Men fonction de M et I , puis écrire  Msous la forme d'une

       matrice à trois lignes et à trois colonnes.

         M2 = a M + b I       s'écrit   M2 = 3 M - 2 I   

        Donc       M3 = 3 M2  - 2 M 

          en multipliant par M chaque membre.

       Conclusion:   M= 3 M2  - 2 I

        On peut en déduire comme 3 M2  - 2 I  = 

  

 /   - 6 7 - 7    \
|     - 21 22 - 21    |
 \   - 7 7 - 6    /

       Comparer avec le résultat obtenu à la première question.

     que  M=

 /   - 6 7 - 7    \
|     - 21 22 - 21    |
 \   - 7 7 - 6    /

    C'est le résultat trouvé dans la première question.

    4. a . Déduire de l'égalité trouvée à la deuxième question que l'on peut  écrire

                   I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M  )

            M2 = 3 M - 2 I     s'écrit   2 I  = 3 M  - M

             2 I  = M × ( 3  I -  M  )

          d'où       I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M )

           On a bien l'égalité demandée;

         b . En déduire une matrice P telle que MP = I.

                   Avec  P = ( 1 / 2 ) ( 3 I - M )

               l'égalité    I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M )

                   devient          M×P = I.

         c. Ecrire P sous la forme d'une matrice à trois lignes et trois comonnes.

        ( 1 / 2 ) ( 3 I - M )   est la matrice :    

 /   3/ 2 - 1/ 2    1  / 2         \
|    3 / 2 - 1 /2    3  /2             |
 \  1/ 2 - 1/ 2   3 / 2       /

  Donc P  = 

    
 /   3/ 2 - 1/ 2    1  / 2         \
|    3 / 2 - 1 /2   3  /2             |
 \  1/ 2 - 1/ 2  3 / 2          /
 
          d. Calculer P × M.

   A l'aide de la calculatrice on a :  P × M = I

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