INFO EXERCICE 3 D'UNE EPREUVE DE BTS SUR LES MATRICES Mars 2009
EXERCICE 3 5 POINTS
Soit les matrices
M =
| / 0 | 1 | - 1 \ |
| | - 3 | 4 | - 3 | |
| \ - 1 | 1 | 0 / |
I =
| / 1 | 0 | 0 \ |
| | 0 | 1 | 0 | |
| \ 0 | 0 | 1 / |
1. Calculer M2 et M3 .
Directement à la calculatrice on a :
M2 =
| / - 2 | 3 | - 3 \ |
| | - 9 | 10 | - 9 | |
| \ - 3 | 3 | - 2 / |
M3 =
/ - 6
7
- 7 \
| - 21
22
- 21 |
\ - 7
7
- 6 /
2. Déterminer les réels a et b tels que M2 = a M + b I .
Il apparait que a M + b I =
/ b
a
- a \
| - 3a
4 a + b
- 3a |
\ - a
a
b /
L'égalité M2 = a M + b I se traduit par :
b = - 2 a = 3
3. Exprimer alors M3 en fonction de M et I , puis écrire M3 sous la forme d'une
matrice à trois lignes et à trois colonnes.
M2 = a M + b I s'écrit M2 = 3 M - 2 I
Donc M3 = 3 M2 - 2 M
en multipliant par M chaque membre.
Conclusion: M3 = 3 M2 - 2 I
On peut en déduire comme 3 M2 - 2 I =
/ - 6
7
- 7 \
| - 21
22
- 21 |
\ - 7
7
- 6 /
que M3 =
| / - 6 | 7 | - 7 \ |
| | - 21 | 22 | - 21 | |
| \ - 7 | 7 | - 6 / |
C'est le résultat trouvé dans la première question.
4. a . Déduire de l'égalité trouvée à la deuxième question que l'on peut écrire
I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M )
M2 = 3 M - 2 I s'écrit 2 I = 3 M - M2
2 I = M × ( 3 I - M )
d'où I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M )
On a bien l'égalité demandée;
b . En déduire une matrice P telle que MP = I.
Avec P = ( 1 / 2 ) ( 3 I - M )
l'égalité I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M )
devient M×P = I.
c. Ecrire P sous la forme d'une matrice à trois lignes et trois comonnes.
( 1 / 2 ) ( 3 I - M ) est la matrice :
/ 3/ 2
- 1/ 2
1 / 2 \
| 3 / 2
- 1 /2
3 /2 |
\ 1/ 2
- 1/ 2
3 / 2 /
Donc P =
| / 3/ 2 | - 1/ 2 | 1 / 2 \ |
| | 3 / 2 | - 1 /2 | 3 /2 | |
| \ 1/ 2 | - 1/ 2 | 3 / 2 / |
A l'aide de la calculatrice on a : P × M = I
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