SOMME ET PRODUIT EN BASE 2

                                                ACTIVITE  EN CLASSE                     Vendredi 16 septembre 2011

              EXERCICE

                       Soit les entiers naturels  n = 110101     et n'  = 1011   en base 2.

                       Trouver  n + n '   et   n x n '    en  base 2.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                      Réponse:  

                      Pour la somme:

                     Retenues:      1  1  1  1  1                             1 + 1 = ( 2 )10 = (10 )2           1 + 0 = 1          0 + 0 = 0                              

                                               1  1  0  1  0  1

                                      +               1  0  1  1

                                        ---------------------------

                                         1 0   0   0  0  0   0      

                    Conclusion  n + n ' = ( 1000000 )2

             Vérification :      ( dans le système décimal )

                (  110101  )2  =  1 x   25+ 1 x 24 +  1 x  2+ 1 x 20   

               Donc  

                 (  110101  )2   =    32 +16 + 4 +1 =(  53 )10

              De plus :

                  ( 1011 )2 =  1x 23  + 1 x 21  +  1 x 20    = 8 + 2 + 1 = 11

            c-à-d

                   ( 1011 )2 = ( 11 )10

                 Donc   n + n ' = 53 + 11 = ( 64 )10  

                  Or        ( 1000000 )2  = 1 x 26   =  64

                 Le résultat de la somme est donc exact.

              2. Pour le produit n x n ' .

                    On sait déjà  que  n x n ' = 53 x 11 = 583

                     Or            583 = 1 x 2+ 71

                                          71 = 1x  2+  + 7

                                           7 = 1 x   2  + 3

                                           3 = 1 x 21 + 1

                                            1 = 1 x   2  + 0

                      D'où :     583 = 1 x 2+ 1 x  2+  1 x   2  +  1 x  2  +  1 x  2   

                     Donc  

     583  = 1 x 2+ 0 x 2+ 0 x 2 + 1 x  2+ 0 x  2+ 0 x  2+  0 x 2+  1 x   2  +  1 x  2  +  1 x  2 

                            C'est- à - dire      583 =  ( 1001000111)2

                               Ainsi     n x n ' = ( 1001000111)2

                        c-à-d          (  110101  )2  x  ( 1011 )2 = ( 1001000111)2       

                      Posons la multiplication :

                                              

                                                                 1  1  0  1  0  1

                                                  x                      1  0  1  1

                                           -----------------------------------------

       Retenues:                         10  1    1   

                                                 1    

                                           1                                

                                                           1   1   0    1     0     1                              1+1+1+1 = 4 = (100 )2

                                                      1   1   0   1    0     1                                          10 + 1  = 11

                                                 0   0   0   0   0    0                                             

                                            1   1   0   1   0   1                                                 

                     -----------------------------------------------------

                                      1   0    0   1   0   0   0    1     1     1

                      Conclusion : On retrouve n x n ' = ( 1001000111)2       

 -------------------------------------------------------------------------------------------------