EX 15 PROD SCAL 1S AVRIL 09

 EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE    1S AVRIL 2009

 EXERCICE 15

      Soit la droite D: y = x - 1.

      Soit le point A ( 2 ; 3 ).

      Soit H le projeté orthogonal du point A sur la droite D.

         a. Que peut-on dire du vecteur  vect( AH ) ?

          b. Déterminer les coordonnées du point H.

         c. Calculer la distance AH.

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  Réponse:

             a.  Le vecteur vect( AH ) est orthogonal à la droite D.

             b.  Notons ( x , y ) les coordonnées de H.

                  On a comme   H est sur la droite D : 

                         y = x - 1          ( 1 ) 

                 Les coordonnées du vecteur vect( AH ) sont (  x - 2 ; y - 3 ).

                 Le vecteur  vect( u ) de coordonnées ( 1 , 1 ) est un vecteur directeur de D.

                 L'orthogonalité des vecteurs  vect( AH ) et vect( u ) se traduit par :

                 vect( AH ) . vect( u ) = 0

               c-à-d      ( x - 2 ) 1 + ( y - 3 ) 1 = 0

                c-à-d         x + y - 5 = 0       (  2 )

                Résolvons le système :

                     y = x - 1              ( 1 )

                     x + y - 5 = 0          ( 2 )

                 pour avoir le coordonnées de H .

                  ( 2 ) à l'aide de ( 1 ) donne :  x + x - 1 - 5 = 0

                   c-à-d         2 x = 6        

                      c-à-d        x = 3

                    En reportant dans ( 1 ) il vient :   y = 3 - 1 = 2

          Conclusion : On a le point H ( 3 ; 2 ) 

                     c.   Les coordonnées du vecteur vect ( AH ) sont:  3 - 2 = 1

                                                                                                    2 - 3 = - 1

                       || vect( AH ) || = AH = √ ( 1² + ( - 1 )² ) =√ 2

          Conclusion:    AH = √ 2 

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