INFO EX1 DS n°6 TS1 Samedi 9 janvier 2013
Principaux résultats.
EXERCICE 1
Soit la fonction f : x → x ln x - 1 sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [
PARTIE A
1. a. Limite de f en + ∞.
On a: lim ( x ln x - 1 ) = + ∞ car lim ln = + ∞ ( cours )
x → + ∞ + ∞
Conclusion: lim f = + ∞
+ ∞
b. Limite de f en 0 à droite.
lim ( x ln x - 1 ) = 0 - 1 = - 1 car lim x ln x = 0 ( cours )
x → 0+ x → 0+
Conclusion : limf = - 1
0+
2. Calcul de f ' ( x ) et sens de varaition de f.
La fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [
comme somme et produit de telles fonctions.
Soit x > 0
On a: f ' ( x ) = 1 + ln x
On a : ln x = - 1 ssi x = e - 1 = 1 / e
Ainsi: f '( x ) = 0 ssi x = 1 / e
On a : f ' ( x ) > 0 ssi x > e - 1
c-à-d f ' ( x ) > 0 ssi x > 1 / e
c-à-d f ' ( x ) > 0 ssi x > 1 / e
| x | 0 1 / e + ∞ |
| f '(x) | || - 0 + |
| f(x) | || ↓ - 1 - 1 / e ↑ |
3. Solution unique α de f( x) = 0 sur ] 0 , + ∞ [
• Sur l'intervalle [ 1 / e , + ∞ [ :
La fonction f est définie, continue
( car dérivable) et strictement croissante.
lim f = + ∞ et f( 1 / e ) = - 1 / e - 1
+ ∞
Donc, d'après le th. de la bijection
f( [ 1/e , + ∞ [ ) = [ - 1 / e - 1 , + ∞ [
Comme 0 est dans l'intervalle [ - 1 / e - 1 , + ∞ [
l'équation f( x) = 0 admet une unique solution α dans
l'intervalle ] 1 / e , + ∞ [.
• Sur l'intervalle ] 0 , 1 / e [ :
La fonction f est strictement négative
d'après le tableau de variation.
f ne s'annule pas donc pas sur sur cet intervalle.
Conclusion: Le résultat est avéré.
Comme f( 1,76) < 0 et f(1,77) > 0
On a :
Conclusion : 1,76 ≤ α ≤ 1,77
4. Donner le signe de f( x ) .
• f est strictement négative sur l'intervalle ]0, 1/ e[.
• f est négative strictement sur l'intervalle [ 1 / e , α [
car elle est croissante strictement sur [ 1 / e , α ] et f( α ) = 0.
• f est strictement positive sur l'intervalle ] α , + ∞ [
car elle est strictement croissante sur [α , + ∞ [ et f( α ) = 0.
| x | 0 α + ∞ |
| f(x) | || - 0 + |
5. Etablir ln α = 1 / α
On a : f( α ) = 0
c-à-d α ln α - 1 = 0
c-à-d α ln α = 1
Ainsi comme α ≠ 0
Conclusion: ln α = 1/ α
Partie B
1. a.Recherche des réels a et b.
On a :
2 a x ln x + ( a + 2 b ) x = 1 x ln x + 0 pour tout réel x >0
qui se traduit par identification en affirmant:
2 a = 1
a + 2 b = 0
c-à-d
a = 0,5
b = - a / 2 = - 0 , 25
Conclusion : a = 1 / 2 et b = - 1 / 4
b. Recherche de F1
F1 est une fonction définie et dérivable sur ] 0 , + ∞ [
comme produit et somme de telles fonctions.
Soit x > 0
On a : F1' ( x ) = 2 x ( a ln x + b ) + x2 ( a / x )
c-à-d F1' ( x ) =2 a x ln x + 2 b x + a x
c-à-d F1' ( x ) = 2 a x ln x + ( 2 b + a )x
Nous voulons que F1' ( x ) = x lnx pour tout x > 0
Donc d'après la question précédente :
Conclusion : a = 1 / 2 et b = - 1 / 4
F1 ( x ) = x2 ( 0,5 ln x - 0,25 ) avec x > 0
• Calcul de J = F1( 4 ) - F1 (α )
On a : F1( 4 ) = 16 ( 0,5 ln 4 - 0,25 ) = 8 ln 22 - 4 = 16 ln 2 - 4
F1( α ) = α2 ( 0,5 ln α - 0, 25 ) = α2 ( 0,5 ( 1 / α ) - 0, 25 ) = ( 1 / 2 ) α - ( 1 / 4 ) α2
Par soustraction:
Conclusion: J = α2 / 4 - 4 + 16 ln 2 - (1 /2) α
3. Primitive de f sur ] 0 , + ∞ [ .
Comme f : x → x ln x - 1
On peut considérer :
Conclusion: F : x → F1( x ) - x sur ] 0 , + ∞ [ .
4. Calcul de F( 4 ) - F (α )
F( 4 ) = F1 ( 4 ) - 4
F( α ) = F1( α ) - α
Donc