INFO Feuille d'exercices sur les suites TS1 8 sept 2012
EXERCICE 1
Soit ( un ) la suite définie par :
un = 2 n - √n pour tout n dans IN.
1. La suite est-elle croissante dans IN ?
( On pourra utiliser la fonction f : x → 2 x - √x associée )
2. A-t-on un ≥ n pour tout n dans IN ?
En déduire le comportement de la suite ( un ) en +∞.
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REPONSE : Fait en classe le 8 sept . 2012
1. Montrons que la suite ( un ) est croissante sur IN.
On a : un = 2 n - √n pour tout n dans IN.
Soit la fonction f : x → 2 x - √x
On a : un = f( n ) pour tout n dans IN
La fonction f est définie dans IR+ et dérivable dans IR+• .
On a : f ' : x → 2 - 1 / ( 2 √x )
Soit x > 0
On a : f '( x ) = ( 4 √x - 1 ) / ( 2√x )
Mais 2 √x > 0
Donc f '( x ) est du signe de 4 √x - 1
• 4 √x - 1 = 0 se traduit par √x = 1 / 4
c-à-d x = 1 / 16
• 4 √x - 1 > 0 se traduit par √x > 1 / 4
c-à-d ( √x )2 > ( 1 / 16 )2 c-à-d x > 1 / 16
( la fonction x → x2 étant strictement croissante sur IR+ )
Le tableau de variation de f est donc :
x | - ∞ 1 / 16 1 + ∞ |
f '( x ) | || - 0 + |
f( x ) | 0 ↓ f(1 /16) ↑ 1 ↑ |
f est donc strictement croissante sur l'intervalle [ 1 / 16 , + ∞ [ .
Sa restriction à IN* est donc croissante.
Donc la suite ( un ) est strictement croissante sur IN*.
u0 = f( 0 ) = 0 et u1 = f( 1 ) = 1
On a donc également : u0 < u1
Ainsi :
Conclusion : La suite ( un ) est stictement croissante sur IN
2. Montrons que un ≥ n pour tout n dans IN .
Soit n dans IN quelconque:
On a : un = 2 n - √n = n + ( n - √n )
Il suffit d'établir que ( n - √n ) ≥ 0 pour montrer que un ≥ n .
Or
• Pour n = 0 on a n - √n = 0 Donc ( n - √n ) ≥ 0
• Pour n ≥ 1 on a √n ≥ 1
Donc √n - 1 ≥ 0
D'où √n( √n - 1 ) ≥ 0
c-à-d n - √n ≥ 0
Conclusion : un ≥ n pour tout n dans IN
Déduisons le comportement de la suite en +∞ .
Quand n tend vers +∞ , un qui est plus grand encore que n tend vers +∞.
( On dit que la suite ( un ) diverge vers +∞ . )
On mettra pour le dire : lim un = +∞
n → +∞
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EXERCICE 2
Fait en classe le lundi 10 septembre 2012
Soit ( un ) la suite définie par :
un = n2 / 2n pour tout n dans IN.
1. Cette suite est-elle à termes strictement positifs?
2. Calculer les cinq premiers termes de la suite.
3 . Exprimer en fonction de n la différence un + 1 - un .
4. Montrer que - x2 + 2x + 1 ≤ 0 pour tout x dans [ 3 , + ∞ [.
5. Donner le sens de variation de la suite ( un ) à partir du rang 3.
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REPONSE:
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EXERCICE 3
Soit la suite récurrente ( un ) définie par :
u0 = 0,64
un + 1 = 1 + 2 √ un pour tout n dans IN
On admet que cette suite est à termes positifs.
Etablir par récurrence que un+1 - un ≥ 0 pour tout n dans IN.
Qu'en déduisez-vous?
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EXERCICE 4
Soit la suite récurrente ( un ) définie par :
u0 = 1
un + 1 = 0,8 un + 2 pour tout n dans IN
Etablir par récurrence que :
1 ≤ un ≤ 1,2 pour tout n dans IN.
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EXERCICE 5
Soit ( un ) la suite définie par :
un = ( 4 n - 1 ) / ( 2 n - 9 ) pour tout n dans IN
1. Trouver deux réels a et b tels que
un = a + b / ( 2 n - 9 ) pour tout n dans IN
2. Donner son sens de variation sur [[ 5 , + ∞ [
c-à-d sur les entiers supérieurs ou égaux à 5.
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