INFO EX 1 Feuille d'ex sur les suites 8 Sept. 2012 TS

                                    INFO  Feuille d'exercices sur les suites       TS1           8 sept 2012

                 EXERCICE 1

                                    Soit (  un ) la  suite définie par :

                                             u=  2 n - √n       pour tout n dans IN.

                          1. La suite est-elle croissante dans IN ?

                             ( On pourra utiliser la fonction f : x → 2 x - √x    associée )

                          2. A-t-on   un   ≥ n  pour tout n dans IN ?

                              En déduire le comportement de la suite ( u) en +∞.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

                  REPONSE :      Fait en classe le 8 sept . 2012

                            1. Montrons que la suite (  u ) est croissante sur IN.

                                  courbe2-ex-1-ts.jpg

                                    On a :   un =  2 n - √n       pour tout n dans IN.

                                   Soit la fonction   f : x → 2 x - √x

                                      courbe-ex-1-ts.jpg       

                                   On a :    un = f( n )      pour tout n dans IN

                                  La fonction f est définie dans IR+   et dérivable dans IR+•  .

                                 On a :     f ' : x → 2  - 1 / ( 2 √x )                                     

                                  Soit x > 0 

                                                On a :      f '( x ) = ( 4 √x - 1 ) / ( 2√x )  

                                                Mais   2 √x > 0    

                                                Donc  f '( x ) est du signe de 4 √x - 1   

                                         • 4 √x - 1 = 0   se traduit par  √x = 1 / 4 

                                                  c-à-d   x = 1 / 16

                                         • 4 √x - 1 > 0   se traduit par  √x > 1 / 4 

                                         c-à-d   ( √x  )2 > ( 1 / 16  )2     c-à-d     x > 1 / 16

                                      ( la fonction x → x2   étant strictement croissante sur IR)

                                Le tableau de variation de f est donc :

x - ∞          1 / 16              1        + ∞ 
f '( x )  ||     -        0                  + 
f( x ) 0     ↓     f(1 /16)     ↑      1     ↑

                        f est donc strictement croissante sur l'intervalle [ 1 / 16 ,  + ∞ [ .

                       Sa restriction à IN*  est donc croissante.

                      Donc la suite ( un ) est strictement croissante sur IN*.  

                        u0 = f( 0 ) = 0    et   u1 = f( 1 ) = 1

                        On a donc également  :      u0  <  u1

                      Ainsi :

                      Conclusion : La suite ( un ) est stictement croissante sur IN

                   2. Montrons que     u ≥  n   pour tout n dans IN .    

                          Soit n dans IN quelconque:  

                             On a :         un     = 2 n - √n   = n + (  n - √n ) 

                            Il suffit d'établir que  n - √n ) ≥ 0  pour montrer que un   ≥  n .

                           Or

                        • Pour n = 0    on a     n - √n   = 0     Donc      n - √n ) ≥ 0 

                        • Pour  n ≥ 1    on a      √n ≥ 1  

                                              Donc        √n - 1 ≥ 0    

                                              D'où     √n( √n - 1 ) ≥ 0

                                               c-à-d      n -  √n  ≥ 0                              

                         Conclusion :   un  ≥  n   pour tout n dans IN

                       Déduisons le comportement de la suite en +∞ .

                             Quand n tend vers +∞ , u qui  est plus grand encore que n  tend vers +∞.

                            ( On dit que la suite (  un ) diverge vers +∞ . )

                                     On mettra pour le dire :             lim un   = +∞

                                                                                           n → +∞

-----------------------------------------------------------------------------------------------------                                            

                 EXERCICE 2 

                                               Fait en classe  le lundi 10 septembre 2012

                 Soit (  un ) la  suite définie par :

                                                         u= n2 / 2n    pour tout n dans IN.  

                           1. Cette suite est-elle à termes strictement positifs?

                           2. Calculer les cinq premiers termes de la suite.

                          3 . Exprimer en fonction de n la différence   un + 1 - un    .

                         4. Montrer que - x2 + 2x + 1 ≤ 0   pour tout x dans [ 3 , + ∞ [.

                         5. Donner le sens de variation de la suite  (  un ) à partir du rang 3.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                 REPONSE: 

                               


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                EXERCICE 3

                           Soit la suite récurrente  (  un ) définie par :

                                    u0 =  0,64

                                   un + 1  = 1 + 2 √ un   pour tout n dans IN

                            On admet que cette suite est à termes positifs.

                           Etablir par récurrence  que     un+1  -   un ≥ 0   pour tout n dans IN.

                            Qu'en déduisez-vous?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

                EXERCICE 4

                     Soit la suite récurrente  (  un ) définie par :

                                    u0 =  1

                                   un + 1  = 0,8  un   + 2   pour tout n dans IN

                           Etablir par récurrence que :

                                             1 ≤ un  ≤ 1,2   pour tout n dans IN.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

             EXERCICE 5

                       Soit (  un ) la  suite définie par :

                                                         u= ( 4 n - 1 ) / ( 2 n - 9 )   pour tout n dans IN

                    1. Trouver deux réels a et b tels que

                                       u= a  +  b  / ( 2 n - 9 )   pour tout n dans IN

                     2. Donner son sens de variation sur [[ 5 , + ∞ [

                        c-à-d  sur les entiers supérieurs ou égaux à 5.

  --------------------------------------------------------------------------------------------------