COORDONNEES POLAIRES

        COORDONNEES   POLAIRES                 1S1          Décembre 2009

          • Coordonnées polaires.       

              Soit la demi droite orientée:    

              où  est un vecteur  unitaire.

              Soit M un point du plan   autre que O   .

              Soit r un réel positif strictement.

              Soit θ  un réel.

                                         

              On admet que le repère

              est orthonormal direct.

              Si OM = r 

               et 

              

               alors  r et θ  sont deux coordonnées polaires pour M.

              r est unique.  

              θ ne l'est pas. Cela est relatif au point O , le pôle,

              et à la demi droite , axe polaire.

               On écrit :  M [ r , θ ]                           

            Exemple:

               Relativement au pôle O et à l'axe polaire

               Le point M [ 2√2  , 3 Π / 4 ]  est tel que:

                         OM = 2√2 

                              et

                        

               Le point  M est représenté ci-dessous:

                                       

               • Propriété            

                 Soit le point M[  r ,  θ ] relativement au pôle O et à l'axe polaire

                  .

                 Soit   le repère orthonormal direct associé.

                 Les coordonnées du point M dans le repère   

                  sont :   x = r cos θ

                               y = r sin θ

                 Explication:

           Soit ( C ) le cercle trigo.

           La demi droite [ OM ) coupe ( C ) en un point  N.

           On a : 

                         

           On a donc:   N( cos  θ  , sin  θ  )

           On a :    

                 Donc le vecteur     est  de coordonnées

                                 ( r cos θ  , r sin  θ  ).

           On a bien le résultat:

                                     

                   Les coordonnées de M sont: 

                              x = r cos θ

                               y = r sin θ

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                • Exemple .            

             Donner les coordonnées cartésiennes

             des points M[ 2 , Π / 3 ]   et  M[ 8 , 3 Π / 4 ].

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             Réponse:

            • Pour M[ 2 , Π / 3 ].  

                                             

                        x = 2 cos Π / 3  = 2 × (  1 / 2 ) = 1

                        y = 2 sin Π / 3 =  2 × ( √3  / 2 ) = √3 

                 Concluson :  On a   M ( 1 ; √3 )

             • Pour M[ 8 , 3 Π / 4 ].

                                   

                      x = 8 cos 3 Π / 4  = 8 ( - √2  / 2 ) =  -  4 √2

                      y = 8 sin 3Π / 4 =  8 ( √2  / 2 ) =  4√2

                 Concluson :  On a   B (  - 4√2 ;  4√2 )

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            • Question:

            Comment obtenir les coordonnées polaires d'un point M

            distinct de O , dont on a les coordonnées cartésiennes?

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            Réponse:

              Soit M( x , y ) avec M distinct de O( 0 ; 0 )

             On calcule OM = √ ( x² + y² )  .   C'est r .

             puis on considère un réel θ  tel que :

                  cos θ  =  x / r

                  sin θ  = y /  r

             A l'aide du cercle trigo. on trouve une valeur de  θ

             à  2 Π près.

              On peut alors considérer M[ r ;  θ ]

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     Explications:

            Soit un M( x , y ) distinct de l'origine O( 0 ; 0 )

            Le point N est tel que:  

                               

             Les coordonnées de N sont donc( ( 1 / r ) x , (1 / r ) y )

             sur le cercle trigo.

             On a : 

                     

             Donc  on a  N( cos  θ  , sin  θ  ) .

              D'où:         ( 1 / r ) x =  cos θ 

                                ( 1 / r ) y =   sin  θ 

               c-à-d         x /  r =   cos θ 

                                 y / r = sin   θ 

             Conclusion: Le résultat est avéré.

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      •  EXEMPLE :      

              Soit les points  A( 0 ; - 3 )   et   B( -2 √3 ;  - 2 )

              dans le plan muni d'un repère orthonormal direct 

              .

              Donner les coordonnées polaires de A et B

              relativement au pôle O et à la demi droite 

              .

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     Réponse: 

              • Pour  A( 0 ; - 3 ) .

                OA = √(  0² + ( -  3 ) ² ) = √9 = 3

               Considérons:

                           cos  θ  = 0 / 3 = 0

                           sin θ  = - 3 / 3 = - 1

               Alors  θ  = 3 Π / 2   [ 2Π ]

            Conclusion:   A[ 3 ; 3 Π / 2  ]

                 • Pour  B( - 2 √3 ;  - 2 ).

                OB = √( ( - 2 √3 )²  + ( -  2 ) ² ) = √( 12 + 4 )

                 OB = 4

               Considérons:

                           cos  θ  = - 2 √3 / 4 = - √3  / 2 

                           sin θ  = - 2 / 4 = - 1 / 2

               Alors  θ  = - 5 Π / 6    [ 2Π ]

           Conclusion:   B[ 4 ; - 5  Π / 6  ]

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