COORDONNEES POLAIRES 1S1 Décembre 2009
• Coordonnées polaires.
Soit la demi droite orientée:
où est un vecteur unitaire.
Soit M un point du plan autre que O .
Soit r un réel positif strictement.
Soit θ un réel.
On admet que le repère
est orthonormal direct.
Si OM = r
et
alors r et θ sont deux coordonnées polaires pour M.
r est unique.
θ ne l'est pas. Cela est relatif au point O , le pôle,
et à la demi droite , axe polaire.
On écrit : M [ r , θ ]
• Exemple:
Relativement au pôle O et à l'axe polaire
Le point M [ 2√2 , 3 Π / 4 ] est tel que:
OM = 2√2
et
Le point M est représenté ci-dessous:
• Propriété
Soit le point M[ r , θ ] relativement au pôle O et à l'axe polaire
.
Soit le repère orthonormal direct associé.
Les coordonnées du point M dans le repère
sont : x = r cos θ
y = r sin θ
Explication:
Soit ( C ) le cercle trigo.
La demi droite [ OM ) coupe ( C ) en un point N.
On a :
On a donc: N( cos θ , sin θ )
On a :
Donc le vecteur est de coordonnées
( r cos θ , r sin θ ).
On a bien le résultat:
Les coordonnées de M sont:
x = r cos θ
y = r sin θ
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• Exemple .
Donner les coordonnées cartésiennes
des points M[ 2 , Π / 3 ] et M[ 8 , 3 Π / 4 ].
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Réponse:
• Pour M[ 2 , Π / 3 ].
x = 2 cos Π / 3 = 2 × ( 1 / 2 ) = 1
y = 2 sin Π / 3 = 2 × ( √3 / 2 ) = √3
Concluson : On a M ( 1 ; √3 )
• Pour M[ 8 , 3 Π / 4 ].
x = 8 cos 3 Π / 4 = 8 ( - √2 / 2 ) = - 4 √2
y = 8 sin 3Π / 4 = 8 ( √2 / 2 ) = 4√2
Concluson : On a B ( - 4√2 ; 4√2 )
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• Question:
Comment obtenir les coordonnées polaires d'un point M
distinct de O , dont on a les coordonnées cartésiennes?
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Réponse:
Soit M( x , y ) avec M distinct de O( 0 ; 0 )
On calcule OM = √ ( x² + y² ) . C'est r .
puis on considère un réel θ tel que :
cos θ = x / r
sin θ = y / r
A l'aide du cercle trigo. on trouve une valeur de θ
à 2 Π près.
On peut alors considérer M[ r ; θ ]
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Explications:
Soit un M( x , y ) distinct de l'origine O( 0 ; 0 )
Le point N est tel que:
Les coordonnées de N sont donc( ( 1 / r ) x , (1 / r ) y )
sur le cercle trigo.
On a :
Donc on a N( cos θ , sin θ ) .
D'où: ( 1 / r ) x = cos θ
( 1 / r ) y = sin θ
c-à-d x / r = cos θ
y / r = sin θ
Conclusion: Le résultat est avéré.
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• EXEMPLE :
Soit les points A( 0 ; - 3 ) et B( -2 √3 ; - 2 )
dans le plan muni d'un repère orthonormal direct
.
Donner les coordonnées polaires de A et B
relativement au pôle O et à la demi droite
.
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Réponse:
• Pour A( 0 ; - 3 ) .
OA = √( 0² + ( - 3 ) ² ) = √9 = 3
Considérons:
cos θ = 0 / 3 = 0
sin θ = - 3 / 3 = - 1
Alors θ = 3 Π / 2 [ 2Π ]
Conclusion: A[ 3 ; 3 Π / 2 ]
• Pour B( - 2 √3 ; - 2 ).
OB = √( ( - 2 √3 )² + ( - 2 ) ² ) = √( 12 + 4 )
OB = 4
Considérons:
cos θ = - 2 √3 / 4 = - √3 / 2 sin θ = - 2 / 4 = - 1 / 2 Alors θ = - 5 Π / 6 [ 2Π ] Conclusion: B[ 4 ; - 5 Π / 6 ]
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