COURS SUITES TS sept 2012
-V- OPERATIONS SURLES SUITES.
Soit deux suites ( un ) et ( vn ) définie sur [[ n0 , + ∞ [ où n0 est
un entier naturel.
On peut s'intéresser à leur somme , leur produit , leur quotient.
Voici les trois tableaux quant à la limite de leur somme, produit ou quotient.
•Pour la somme des deux suites:
| + | réel L | +∞ | -∞ |
| réel L' | L + L ' | +∞ | -∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ | IND |
| -∞ | -∞ | IND | -∞ |
En noir les cas de formes indéterminées
•Pour le produit des deux suites:
| × | réel L non nul | 0 | +∞ | -∞ |
| réel L' non nul | L× L' | 0 |
+∞ si L '>0 - ∞ si L '<0 |
-∞ si L '>0 + ∞ si L '<0 |
| 0 | 0 | 0 | IND | IND |
| +∞ |
+∞ si L >0 - ∞ si L <0 |
IND | +∞ | -∞ |
| -∞ |
-∞ si L >0 + ∞ si L <0 |
IND | -∞ | +∞ |
•Pour le quotient des deux suites: ( un / vn )
| vn ↓ un → | L non nulle | 0- | 0+ | +∞ | -∞ |
| L' non nulle | L / L' | 0 | 0 |
+∞ si L'>0 - ∞ si L' <0 |
-∞ si L'>0 + ∞ si L' <0 |
| 0- | -∞ | IND | IND | -∞ | + ∞ |
| 0+ | + ∞ | + ∞ | -∞ | ||
| ± ∞ | 0 | 0 | 0 | IND | IND |
2. Résultat:
• La limite d'un polynôme en n en + ∞ est celle de son terme de plus haut degré.
• La limite du quotient de deux polynomes en n en + ∞ est celle du quotient
simplifié de ses termes de plus haut degré.
3. Exemple:
Soit la suite ( wn ) définie sur IN par :
wn = ( 2 n2 - 5 n + 1 ) / ( n + 4) pour tout n dans IN
• Première méthode:
On a pour n dans IN* le quotient simplié des termes
de plus haut degré qui est:
2 n2 / n = 2n
Or lim 2n = + ∞
n → + ∞
Conclusion : lim w n = + ∞
n → + ∞
• Seconde méthode :
Soit n dans IN* .
On a en factorisant n2 au numérateur et n au dénominateur
puis en simplifiant:
wn = [n2 ( 2 - ( 5 / n )+ (1 / n2 ) ) ] / [ n ( 1 + 4 / n )]
c-à-d wn = n ( 2 - (5 / n )+ ( 1 / n2 ) ) / ( 1 + 4 / n )
lim ( 2 - ( 5 / n )+ ( 1 / n2 ) ) = 2 et lim ( 1 + 4 / n ) = 1
n → + ∞ n → + ∞
Donc lim [ n ( 2 - (5 / n )+ ( 1 / n2 ) ) / ( 1 + 4 / n ) ] = + ∞ × ( 2 / 1 ) =