INFO TEST 1 1S et 1ES

                 INFO TEST 1                       1 S    et   1 ES              Octobre 2010       2 heures

             EXERCICE 1             6 points                      

            Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes:

              1.          169 x²  - 13 x - 13 = 0                   ( Rappel : 13² = 169   )

                      c-à-d     13 x² - x - 1 = 0

                        Le discriminant est :        Δ = b² - 4 ac        a = 13      b = - 1    c = - 1 

                                  c-à-d                      Δ = ( - 1 )² - 4 × 13  × ( - 1 )

                                    c-à-d                     Δ  = 1 + 52 = 53

                                  Δ > 0  

                         Il y a deux racines distinctes pour l'équation.

                           ( - b - √Δ  ) / ( 2 a )  = (  1 - √53  ) / 26

                             ( - b +√Δ  ) / ( 2 a )  =  (  1 +√53  ) / 26

                     Conclusion :  S_IR = {  (  1 - √53  ) / 26  ;  (  1 +√53  ) / 26  }

              2.         169 x²  - 13 x - 13 ≤ 0

                         c-à-d     13 x² - x - 1 ≤ 0

                        Nous voulons que   13 x² - x - 1  soit du signe de - a = - 13.

                        Nous devons prendre x entre les racines en les aceptant.

                       Donc:

                        Conclusion :  S_IR =  [ (  1 - √53  ) / 26  ;  (  1 +√53  ) / 26 ]

              3.        x³  - 2 x² - 2 x = 0                                      ( On pourra factoriser x . )

                         c-à-d      x ( x² - 2 x - 2 ) = 0

                         c-à-d      x = 0  ou   x² - 2 x - 2  = 0

                        Résolvons  x² - 2 x - 2  = 0

                              a = 1                  b ' = b /  2  = - 1           c  = - 2

                             Δ ' = b ' ² - ac

                         c-à-d     Δ ' = ( - 1 ) ²   - 1  ×( - 2 )

                         c-à-d     Δ ' = 1 + 2 = 3

                          Ainsi   Δ '  > 0

                          Il y a deux racines distinctes.

                           ( - b ' - √Δ'  ) / a  =  1 - √ 3

                            ( - b ' + √Δ'  ) / a  =   1 + √ 3

                        Conclusion :  S_IR = { 0 ;    1 + √ 3   ;  1 - √ 3  }

              4.         x³  - 2 x² - 2 x >  0                                  ( On pourra faire un tableau de signes . )

                         Faisons  un tableau de signes.

                               Conclusion :  S_IR = ] 1 -  √ 3  ; 0 [ U ] 1 + √ 3  ;   + ∞ [   

           5.         x⁴  - 6  x² + 5 = 0   

                                                ( On pourra considérer  ( x² )² - 6  x² + 5 = 0  puis trouver x² enfin x )

                             On a :         

                                    x⁴  - 6  x² + 5 = 0        équivaut à                     X =   x²                       ( 1 )

                                                                                                    et    X² - 6 X + 5 = 0             ( 2 )

                                 Résolvons ( 2 )  :    1 est une racine évidente car  1 - 6 + 5 = 0

                                                                 L'autre racine est  :   c / a = 5 / 1 =  5

                             Pour chacune des racines de ( 2 ) résolvons ( 1 ).

                                   • pour X = 1        ( 1 ) s'écrit      1 =  x²  

                                             c-à-d                   x = 1  ou  x = - 1

                                   • pour X = 5             ( 1 ) s'écrit      5 =  x²     

                                             c-à-d                   x = √5   ou  x = - √5  

                                            Conclusion :  S_IR = {   1 ; - 1  ;  √5    ;   -  √5   } 

               6.        x - 5√ x + 4 = 0             ( On pourra utiliser   x = (  √ x  ) ²   puis trouver  √ x   enfin x )

                         On a :     x - 5√ x + 4 = 0     équivaut à    (  √ x  ) ²  - 5√ x + 4 = 0 

                                                                     c-à-d   à  :

                                                                                        X =  √ x                       ( 1 )

                                                                               et    X ²  - 5 X + 4 = 0            ( 2 )

                             Résolvons ( 2 ).

                                   1 est une racine évidente car     1 - 5 + 4 = 0

                                    L'autre racine est donc       c / a  = 4 / 1 = 4                         

                           Pour chacune des racines de ( 2 ) résolvons ( 1 ).

                                   • pour X = 1        ( 1 ) s'écrit      1 =  √ x    

                                                               c-à-d   x = 1

                                   • pour X = 4        ( 1 ) s'écrit      4 =  √ x     

                                                                      c-à-d     x = 16

                                     Conclusion :  S_IR = {  1  ; 16  }                               

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              EXERCICE 2                    6 points

                      Soit un rectangle ABCD tel que: 

                                                    AB = 10 cm  et   AD = 4 cm.

                      Soit x un nombre réel dans l'intervalle [ 0 ; 4 ].

                      On place sur les côtés [ AD] , [ DC ] , [CB] , [ BA ] respectivement les points

                       E, F , G , H  tels que :     AE = x  = CG   

                                                            DF = 2 x = BH

                      Figure  pour x = 3 

                   1.   a. Etablir que l'aire A( x ) du quadrilatère EFGH est :  4 x² - 18 x + 40 .

                             L'aire du rectangle ABCD est :  10 ×4 = 40

                             Les deux triangles vert forment un rectangle d'aire : 2 x  × ( 4 - x )

                             Les deux triangles oranges  forment un rectangle d'aire :  x  × ( 10 - 2x  )

                             Par différence :    A( x ) = 40 -  2 x  × ( 4 - x )  - x  × ( 10 - 2x  )

                                   c-à-d      A( x ) =  40 - 8 x + 2 x²   - 10 x + 2 x²

                                   c-à-d       A( x) =  4 x²  - 18 x + 40

                                Conclusion :   A( x ) =   4 x² - 18 x + 40 .

                          b. Donner la forme canonique du trinôme    x² - 4,5 x + 10.

                                   Le discriminant est :        Δ = b² - 4 ac    

                                          Δ =  ( - 4,5 )² - 4 × 1 ×10   = - 19,75

                               On a :     x² - 4,5 x + 10 =  1 ( x +  ( - 4,5 ) /  2 )² - (  - 19 , 75 ) /   4

                                         Conclusion :  x² - 4,5 x + 10 =   ( x - 2,25 )²   + 19 , 75  /   4                  

                         c. Donner le tableau de variation de la fonction

                                f : x  →    x² -  4,5 x + 10     

                                     a = 1   Donc a > 0                     - b / ( 2 a ) = 2, 25

                                                                                      -  Δ  / ( 4 a ) =  19 , 75 / 4

                              Conclusion:                        

                       d. Représenter la courbe de la fonction f sur l'intervalle [ 0 ; 4 ]

                           dans un repère orthonormal . ( unité graphique 4 cm )                       

                   ( On complétera le tableau )

                     2. Pour quelle valeur de x l'aire du quadrilatère EFGH est-elle minimale

                          On a :    A( x ) = 4 (  x² -  4, 5 x + 10 )   

                          Or       x² - 4, 5 x + 10 est minimal pour x =2,25 

                          Donc A( x ) est minimum pour  x = 2,25                            

                    3. a. Résoudre dans l'intervalle [ 0 ; 4 ] l'équation:   f( x ) = 5.

                            Conclusion :  f( x ) = 5  pour  x = 2  et pour x = 2, 5

                            En effet :

                             La droite d'équation  y = 5 coupe la courbe de f  en deux points

                             dont les abscisses sont  2 et  2 , 5.

                       b. Pour quelles valeurs de x l'aire du quadrilatère EFGH est-elle égale

                         à la moitié de celle du rectangle ABCD?

                               Considérons :        A( x ) = 40 / 2

                               c-à-d                       A( x ) = 20

                                c-à-d                       4 (  x² -  4, 5 x + 10 )   = 20

                                c-à-d                          x² -  4, 5 x + 10 = 5

                                 c-à-d                             f( x ) = 5

                               c -à-d                    x = 2   ou x = 2 , 5

                          Conclusion:   x = 2   ou    x = 2 , 5        

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                  EXERCICE 3          3 points

                       Un jardin rectangulaire a un périmètre de 280 mètres.                     

                       On y trace une allée périphérique de 1,5mètre de largeur.

                       Il reste alors une surface cultivable de 4320 m² .

                       Quelles sont les dimensions de ce jardin ?

                       On a :  Soit x et y  la largeur et la longueur .du jardin ABCD. 

                       On sait que:     2 x + 2 y =  280    Donc   x + y = 140     nptée   ( 1 )

                                              (  x - ( 2 ×1 , 5 ) )  × ( y - ( 2 × 1,5 )) = 4320  

                                     c-à-d           (x - 3 ) × ( y - 3 ) = 4320   

                                   c-à-d            x y + 9 - 3 x - 3 y = 4320

                                  c-à-d             x y - 3 ( x + y ) - 4311           notée  ( 2 )

              Considérons les égalités ( 1 ) et ( 2 )

              x + y = 140     et   xy - 3 ( x + y ) - 4511 = 0  

         En reportant dans ( 2 ) il vient :

                                    x y - 3 × 140 - 4311 = 0

                c-à-d             x y - 4731 = 0

                c-à-d                              x y = 4731   notée     ( 3 )

                ( 1 ) et ( 3 ) donnent la somme et le produit de x et y .

                 Ainsi x  et  y  sont les solutions de l'équation :     X² - S X + P = 0

                     avec     S = 140   et  P = 4731

                  Considérons :    X² - 140 X +  4731 = 0

                   Δ ' = ( - 70 )² - 1 × 4731 =169 = 13²

                   Δ ' > 0

                   Les deux racines distinctes sont :

                 ( - b ' -  √  Δ '  ) / a = 70 - 13 = 57

                 ( - b ' + √  Δ '  ) / a  = 70 + 13 = 83

              Conclusion :    Les dimension de la surface cultivable sont  57 m  et 83 m 

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                 EXERCICE 4               2 points

                       Indiquer si l'affirmation est vraie ou fausse

                       et corriger l'affirmation si elle est fausse.

                            1.     √( - 7 )²   = - 7                                          NON    car  √( - 7 )²  > 0

                            2.     x² + 3x + 2 < 0  quand x < - 1                NON     quand    - 1 < x < 2          

                            3.    √ ( (x² + 3 )² )  = x² + 3         où x est un nombre réel quelconque.        OUI

                            4.     √ ( (x + 3 )² )   = x + 3         où x est un nombre réel tel que x ≥ - 3 .     OUI

                            5.    ( 2 x - 1 ) ( x + 2 ) > 0         quand    - 2 <  x <  1 / 2 .    NON .

                                                                                           Quand x est  à l'extérieur des racines

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                 EXERCICE 5                  3 points

                 Monsieur Dupond place le 1/06/ 2008 la somme de 5000 euros sur un compte en actions.

                 Un an plus tard , le 1/ 06 / 2009 le montant des ses actions a baissé de t %.

                 Mais son capital vaut encore plus de 3500 euros.

                 Il ne cède pas à la panique. Il attend que les cours remontent.

                 Le 1 / 06/2010 le montant de ses actions remonte de 4t % par rapport au 1 / 06 / 2009.

                 Il décide de les vendre  . Il en obtient 7500 euros.

                     1 . Exprimer en fonction de t le montant en euros de ses actions le 1 / 06 / 2009.

                     2 .  Exprimer en fonction de t le montant en euros de ses actions le 1 / 06 / 2010.

                     3. Quelle équation peut-on écrire?

                     4. Trouver t.

 Réponse :     1. Au 1 juin 2009 il a :     5000 ×( 1 - t / 100 )      euros

                      2. Au 1 juin 2010 il a :     5000 ×( 1 - t / 100 ) × ( 1 + 4t / 100 )    euros

                      3. Mise en équation :      5000 × ( 1 - t / 100 ) × ( 1 + 4t / 100 ) = 7500

          c-à-d      ( 1 - t / 100 ) × ( 1 + 4t / 100 ) = 1,5     c-à-d    ( 100 - t )  ( 100 + 4 t ) = 1, 5 ×

                      c-à-d      10000 - 4 t²  + 400 t - 100 t   = 15000      c-à-d      4 t²  - 300 t - 10000 + 15000 = 0

            c-à-d    4 t²  - 300 t + 5000 = 0    c-à-d       t² - 75 t  + 1250 = 0    4.  Résolution   t = 25  convient   et  t = 50 refusé