DS n° 3 TS2 12/11/10

                             DS n ° 3         Vendredi 12 novembre 2010                    TS2         

             EXERCICE 1                 6 POINTS

                   Soit les nombres complexes z = 1 + i   et  z ' = 1 + i √3 .

                   1. Donner la forme algébrique de  z × z ' .

                   2. Donner les formes trigonométriques de z et z ' , puis celle de z × z ' .

                   3. En déduire  les valeurs exactes de cos ( 7π / 12 )  et sin ( 7π / 12 ) .

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               EXERCICE 2              11 POINTS 

                    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.

                    Soit les points  A , B ,  C d'affixes respectivement

                     zA = - 1            zB = 1 - 3 i                   zC = 2 + 2 i

                     1. Placer les points A , B , C .

                     2. Déterminer une mesure θ de l'angle orienté ( vect( AB  ) , vect( AC  ) ).

                     3. Donner la traduction complexe de la rotation r de centre A et d'angle θ.

                     4. Quelle est l'image du point B par r ?

                     5. Soit le point E symétrique de B par rapport à A.

                        Donner l'affixe de E. 

                     6. Trouver et représenter l'ensemble des points M d'affixe z du plan tels

                            (  z - zE  ) /  (   z - zB  )  soit un imaginaire pur ( au sens large ).

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                 EXERCICE 3              3 POINTS       

                                         Soit a et b deux nombres réels.

                       On sait que :       cos( a + b ) = cos( a ) × cos(  b  ) -  sin(  a ) × sin ( b )

                                                 cos ( a - b ) = cos( a ) × cos(  b  ) + sin(  a ) ×  sin ( b )

                      a. En déduire que:       cos( a ) × cos ( b ) = ( 1 / 2 ) × [  cos( a + b )  + cos ( a - b ) ]

                                                          sin( a ) × sin ( b ) = ( 1 / 2 ) × [  cos( a - b )  -  cos ( a + b ) ]

                      b. Soit x un nombre réel:

                           Exprimer  le produit  cos ( x ) × cos ( 3 x )  comme une somme.

                      c. On pose:       a + b = α        et     a - b = β

                            Etablir que :   cos  ( α )  +  cos ( β ) =  2 cos(  (α  +  β ) / 2  )   ×  cos (  (α  -  β ) / 2  )

                       d.  Soit x un nombre réel:

                           Exprimer  la somme   cos ( x ) +  cos ( 3 x )  comme un   produit.

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