Corrigé EXERCICE 4 SPE 2018

     INFO    Baccalauréat S         Métropole–La Réunion           22 juin 2018 


            EXERCICE 4       (  5 points )
                                   Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité


           PARTIE  A
                On considère l’équation suivante dont les inconnues x et y sont des entiers naturels :

                           x2  −  8 y2  =  1             (E)
               1. Déterminer un couple solution (x ; y) où x et y sont deux entiers naturels.

                  REPONSE:

                    Il est clair que:      12  −  8 × 02 = 1  −  0 = 1

              Conclusion: Le couple ( 1 ; 0 ) est un couple d'entiers naturels qui vérifie ( E ).

               2. On considère la matrice   

                                                 Matbac18
                   On définit les suites d’entiers naturels (xn) et  ( yn )  par :
                       x0 = 1, y0 = 0, et pour tout entier naturel n,
                                           Egabac18 
                      a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le couple ( xn ; yn )
                          est solution de l’équation (E).

                           REPONSE:

                     Faisons une récurrence sur IN.

                       • n = 0

                          On vient de voir que le couple ( 1 ; 0 ) d'entiers positifs était une solution de ( E).

                          Or  x0 = 1 et  y0 = 0

                         Donc:    (  x0 , y0 ) est  bien une solution de ( E).

                           C'est donc vrai à l'ordre 0.

                          • Soit n un entier naturel quelconque.

                           Montrons que si le couple (xn   , yn ) est une solution de ( E ) alors  ( xn + 1   ​, yn + 1

                          est une solution de ( E ).

                         Considérons :  (   xn  ) 2  −  8 (  yn  ) = 1

                        Les égalités,

                                       Egabac18  et     Matbac18

                         se traduit aussitôt  par :                         xn + 1   =  3  xn  + 8  yn  

                                                                                        yn + 1   =    xn   +  3   y

                          Elevons au carré chaque membre puis développons:

                       Ainsi :          1 ×    |            (  xn + 1  ) 2 =  9 (  xn  ) 2 +  64 ( yn   )2       +  48   y

                                            −  8 ×  |           (   yn + 1  ) 2   =  (  xn ) 2  +  9  ( y)2    +   6   y
                                                                   ---------------------------------------------------------------------

          En sommant et réduisant il vient :        (   xn + 1  ) 2  −  8 (  yn + 1  )  =  (  xn  ) 2    −  8 (  yn   )2

                       Mais                                                    (   xn  ) 2  −  8 (  yn  )  = 1

                     Donc                                                   (   xn + 1  ) 2  −  8 (  yn + 1  )  = 1

                 Conclusion: Pour tout entier nature n , le couple (xn   , yn ) est soution de ( E)

                  b. En admettant que la suite (xn) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour
                           tout entier naturel n, on a : xn+1 > xn.

                  REPONSE:   On admet que  pour  tout entier naturel n,       xn > 0     et    yn   ≥ 0

                          Soit n un entier naturel quelconque:

                            On a vu que :             xn+1  =  3 x + 8   yn
                           Donc :                            xn+1  −   xn   = 2  x + 8   yn  = 2 (  x + 4   yn  )

                          Or                         xn > 0     et   4 yn   ≥ 0   impliquent    x + 4   yn    > 0

                        D'où                            2 (  x + 4   yn  )   > 0

                          c-à-d                       xn+1  −   xn    > 0

               Conclusion :   pour  tout entier naturel n,     xn+1  >   xn  

                                          en admettant que pour  tout entier naturel n,       xn > 0

              3. En déduire que l’équation (E) admet une infinité de couples solutions.

                    REPONSE:

                     On est assuré à présent que:     xn+1   ≠   xn   pour   tout entier naturel n.

                   Donc, pour   tout entier naturel n , les couples soutions de ( E ),  (xn   , yn ) et   ( xn + 1   ​, yn + 1

                    sont différents . En effet ils diffèrent déjà par le premier terme.

                  de plus il y en a autant que dans IN.

                  Conclusion: 

                      ( E ) admet une infinité de couples solutions
            PARTIE  B
                   Un entier naturel n est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n,
                    p
divise n.
              1. Vérifier qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à 10 qui sont puissants.
                  L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une infinité
                  de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.

                   REPONSE:

                  Il suffit d'en préciser deux ici.

                Considérons:

                    •  n = 8  

                     On a :          8 =  22  × 2  = 4 × 2

                     Le seul nombre premier qui divise 8 est  p = 2

                     p2  = 4 

                   On a :     4  | 8

                  Donc     p | n  

                      Donc

                                8 est est un entier naturel puissant inférieur  à 10

                    • n = 9

                    On a :     9 = 3                     

                    Le seul nombre premier qui divise 9 est  p = 3

                     p2  = 9 

                   On a :     9  | 9

                    Donc     p | n  

                      Donc    9 est est un entier naturel puissant inférieur  à 10

                        De plus  8 et  9 sont consécutifs.

                     Conclusion : On bien trouvé deux entiers naturels inférieurs à 10 et consécutifs.
              2. Soient a et b deux entiers naturels.
                    Montrer que l’entier naturel n = ab3   est un nombre puissant.

                 REPONSE:

                 Considérons n = ab3     avec a et b dans IN

                 n est bien un entier naturel.

                 Soit p un nombre premier qui divise n.

                Comme    n = a × a × b × b × b   on a  p qui divise a ou b.

             •  Si p | a    alors  p2 | a2     donc    p2 | ab3     c-à-d    p2 | n

              • Si p |b    alors  p2 | b2     donc    p2 | a2 × b ×b    c-à-d    p2 | n

              Ainsi :

            Conclusion:     L'entier naturel n = ab3  est bien un entier naturel puissant.


              3. Montrer que si (x ; y) est un couple solution de l’équation (E) définie dans la partie A, alors
                         x2 − 1 et x2   sont des entiers consécutifs puissants.

             REPONSE:

                    Soit   (x ; y) est un couple solution de l’équation (E).

                    Ainsi x et y sont des entiers naturels.

                 On a :  x2   −  8 y2 = 1

                 c-à-d     x2  − 1  =  8 y2

                 Comme y  est un entier naturel ,  8 y   est un entier naturel

               Ainsi :    x2  − 1 qui est un entier naturel

               • ( x2  − 1  ) + 1 =  x2 

                   Donc,  x2  − 1 et  x2  sont deux entiers naturels consécutifs.

               • Montrons que  x2  − 1 est puissant .

                  x2  − 1 =  8 y = y2 23 

             Or  y2 23  est de la forme a2 b3  rencontrée dans la question précédente

             où on a montré qu'il s"agissait d'un entier puissant.

                   Donc  x2  − 1  est puissant.

              • Montrons que  x2  est puissant.

               x2  est un entier naturel comme produit d'entiers naturels.

                   x2  = x × x

                Tout nombre premier p qui  divise x2  doit diviser x. 

                Si p | x     alors     p2 | x2        ( Rappel :    |     veut dire divise )

             Donc  x2   est puissant.
             Conclusion : 

                 Si (x ; y) est un couple solution de l’équation (E) , alors
                         x2 − 1 et x2   sont des entiers consécutifs puissants.

            4. Conclure quant à l’objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu’il existe une infinité de
                    couples de nombres entiers consécutifs puissants.
                  Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à 2018.

                •Infinité.

               REPONSE:

                On a vu  ( Partie A question 3)  que la suite de couples ( xn , yn )  définie sur IN constituait une infinités

                de solutions de ( E ).

              On a vu ( Partie B question 3 ) que tout couple d'entiers naturels ( x , y ) solution de ( E) est tel que 

                x−1  et x2  sont des entiers naturels puissants.

            Ainsi:

           Conclusion : les couples (  xn−1  , xn2   ) constituent une infinité d'entiers naturels consécutifs puissants.

               •Recherche d'un couple d'entiers naturels puissants consécutif supérieurs à 2018.

                      REPONSE:

               On va rechercher un couple d'entiers naturels  x2  − 1 , x2  )  tels que :

                        x− 1 > 2018    et   x2  > 2018    c-à-d      x2 ​ > 2019

                  tel que   ( x   , y ) solution de ( E )   c-à-d    x2 −  8 y2 = 1.

               L'idée pour cela consiste à:

            •  Considérer l'équation diophantiènne :     u  −  8 v = 1  ( ça revient à poser que x2 = u et  y2  = v  )

            •  Puis en donner d'abord la forme de ses couples solutions( u , v ) d'entiers naturels.

                    Ils sont de la forme:       ( − 7 + 8 X , −  1 + X ) avec X dans IN*.

                   En effet:

                 u  −  8 v = 1  ⇔        u  −  8 v = 1      et    − 7 −  8 ( −  1 ) = 1

    c-à-d      u  −  8 v = 1  ⇔       u  −  8 v = 1     et     ( u + 7 ) −  8 ( v + 1 ) = 0           par différence

    c-à-d      u  −  8 v = 1  ⇔        u  −  8 v = 1     et      u  + 7  =  8 ( v + 1 ) 

    c-à-d      u  −  8 v = 1  ⇔        u  −  8 v = 1     et     8 |  u  + 7   et   u  + 7  =  8 ( v + 1 ) 

   c-à-d      u  −  8 v = 1  ⇔        u  −  8 v = 1     et  il existe X dans Z   /    u  + 7 = 8 X et   8 X = 8 ( v + 1 ) 

   c-à-d      u  −  8 v = 1  ⇔        u  −  8 v = 1     et  il existe X dans Z  /     u =  −  7 + 8 X    et   X =  v + 1 

   c-à-d      u  −  8 v = 1  ⇔      il existe X dans Z   /    u =  −  7 + 8 X     et   v =  − 1 + X  

            Comme u et v doivent être dans IN on considère X dans IN

            •   Ensuite à  rechercher parmi eux , à l'aide de la table calculatrice,

              le plus petit couple ( u , v ), tel que √u dans IN*  et √v  dans IN   et  u > 2019.

                Il suffit de prendre dans la table une colonne pour X ( à partir de 45 ) , une colonne pour 

                     √( − 7 + 8 X )   , une colonne pour √( − 1 + X ).

               On augmente de 1 en 1 les entiers X   jusquà avoir une ligne horizontale d'entiers naturels.

                        X= 1226     ;    x= 99   ;     y= 35

        On met:      Y1 = √(−7 +8 X )    Y2 = √(− 1 + X )

   X       Y1             Y2     Y3              
45   18,788   6,6332       
......        
1226    99     35    

           •  On prendra alors le couple  ( x2, x2 −  1  ) comme couple répondant à notre problème.

             On obtient  u = x= 99= 9801   et      x2 −  1 = 9800

           Pour le couple ( x , y ) on trouve (  99 , 35 ).  Le y ne sert plus à rien.

             On devait simplement s'assurer que ce soit un entier naturel

           Ainsi on considère le couple ( 9801 , 9800 ) qui est de la forme (x2 , x2 −  1 )

           C'est un couple d'entiers naturels consécutifs puissants.

            Vérification :        992 >2018   et    992  −  1  > 2018

                                         992  = 9801 = 34 ×  112

                                       Les seuls nombres premiers qui divisent l'entier naturel 9801 sont 3 et 11.

                                         Or    32  et 112 divisent aussi 9801

                                             9801 est bien puissant

             Vérification :    992  −  1 = 9800 = 23× 52 ×72

                                    Les seuls nombres premiers qui divisent l'entier naturel 9800 sont 2, 5 et 7.                                 

                               Or    22  et 52  et 7 divisent aussi 9800

                                             9800 est bien puissant

          Vérification:      992  −  8 × 352  = 1     

         Conclusion : Le couple ( 9801 ; 9800 ) répond au problème.     

              

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