Devoir surveillé n ° 7 55 mn Samedi 14 mars 2009 1S1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE 1
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .
Soit la fonction f : x→ ( - 2 x² + 5 x + 4 ) / ( 2 x + 1 ) sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ .
( La courbe ( C ) de la fonction f n'est pas demandée. )
1. Trouver les limites de f en + ∞ et en - 1 / 2 à droite.
La courbe ( C ) admet-elle une asymptote verticale ?
2. Trouver les réels a , b, c tels que :
f( x ) =a x + b + c / ( 2 x + 1 ) pour tout x dans l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ .
3. Montrer que la droite D : y = - x + 3 est une asymptote à la courbe ( C ) en + ∞.
4. a . Montrer que sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ la fonction dérivée de f est
f ' : x → - 1 - 2 / ( 2 x + 1 )²
b. Donner le signe de f ' .
5. a. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ .
b. Préciser son tableau de variations.
c. La courbe ( C ) de la fonction f admet -elle ,en un point, une tangente horizontale?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE 2
1. Résoudre dans IR l'équation: cos x = 1 / 2.
En déduire la résolution de l'équation : cos 2x = 1 / 2.
2. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).
a. Donner les coordonnées cartésiennes du point A de cordonnées polaires [ 2 , 2 π / 3 ]
avec l'axe polaire ( O ; vect ( i ) ).
Représenter le point A.
b. Soit le point B de coordonnées cartésiènes ( - 3 ; - 3 ).
Donner des coordonnées polaires du point B , en considérant ( O ; vect( i ) ) comme
repère pôlaire .
3. a. Simplifier les écritures suivantes: π - π/ 10 ; π - 2 π / 5 ; π / 2 - π/ 10 .
b. Calculer l'expression : A = cos ( π/ 10 ) + cos ( 2π/ 5 ) + cos ( 3 π/ 5 )+ cos ( 9 π / 10 )
4. On a sin a = 3 / 5 et a dans l' intervalle [ 0 , π / 2 ].
Trouver cosa .
5. Donner la mesure principale de l'angle orienté dont une mesure , en radians , est
33 π / 5 .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BON COURAGE