DS n° 10 23 MAI 2009 1S

 SUJET       DS n° 10            23 MAI 2009            1S              

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        EXERCICE 1                          4 Points

                  Soit la fonction u: x → ( x + 2 ) / ( x + 1 ) définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞[ .

                     1. Déterminer le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle [ 0 , + ∞[ .

                     2. Soit la suite ( u ) définie sur IN par :

                               un  = 1 +  1 / ( n + 1 )  pour tout n dans IN.

                        a. Préciser le sens de variation de la suite ( u ).

                        b. Montrer que la suite ( u ) est bornée par 0 et 2 sur IN.

                        c. Trouver la limite de la suite ( u ).

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        EXERCICE 2

                   Soit la suite de terme général vn  = 5n  -  7n   pour tout n dans IN .

                   Trouver la limite de la suite ( v ).

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        EXERCICE 3

                  le plan est muni d'une repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j )  ).

                  ( Unité graphique : 2 cm )

         Soit la suite ( u ) définie sur IN par:

                     u  = 2

                    un + 1 = ( 1 / 2 ) un  + ( 1 / 2 )  pour tout n dans IN.

         Soit   wn = un  - 1   pour tout n dans IN.

            1. Calculer u1    ,  u2    .

            2. Montrer que  wn + 1  =  ( 1 /2 )  wn      pour tout n dans IN .

                Donner   w.

            3. Donner le terme général de la suite ( w ) puis le terme général

                de la suite ( u ) en fonction de n.

            4. Les suites ( w ) et ( u ) convergent-elles. ( On donnera les limites éventuelles.)

            5. Tracer les droites D: y =x et  D' : y = ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 2 ) .

            6. Placer sur l'axe des abscisses   u  , puis , à l'aide d'un web placer

                u  ,  u  ,  u     sur l'axe des abscisses.

           7. Que pouvez-vous conjecturer quant au sens de variation de la suite ( u ) ?

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        EXERCICE 4

              Soit la suite de terme général  kn = ( 1 / n )  sin( 1 / n ) 

                 pour tout n dans IN.

              Montrer  que la suite ( k ) converge.

              ( On pourra utiliser un encadrement )

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        EXERCICE 5

                   Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

      Soit les points  A ( 2 ; 5 ) et B( 1 ; 3 ).

      Soit I le point milieu du segment [ AB] .

       1.a. Calculer la distance AB.

          b. Donner les coordonnées du point I .

       2. Trouver une équation du cercle de diamètre [AB].

       3. Donner une équation de la droite  ( AB ) .

       4. Donner une équation de la médiatrice du segment [AB].

       5. Déterminer l'ensemble ( W ) des points M du plan tels que :

             MA² + MB  = 1 / 2.

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                                             Bon courage

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