INFO EX1 DS 5 1S1 27/1/10

          INFO EX1  DS    n° 5       1S1      27 janvier 2010   

    

   EXERCICE 1             5 POINTS


                   Le plan est muni d'un repère orthonormal    .

                 1. a. Donner un vecteur directeur de la droite Δ d'équation y = x + 4. 

                         On a    y = a x + b    avec  a = 1 et b = 4

                    Donc  

                     Le vecteur   de coordonnées  ( 1 ; a  )  convient.

                     Conclusion:  ( 1 ; 1 )  convient

 
                     b. Les points  G (   - 1 / 3  ;  11 / 3    ) et  G' ( 5 ; 9 ) sont-ils sur la droite Δ?

 

                        OUI.     On a bien:   11 / 3   =  - 1 / 3 + 4

                                            et      9  = 5 + 4

                        Conclusion :  Les points  G et G' sont sur Δ.
         

                 2. Trouver un vecteur normal   à la droite Δ .

                         On a le vecteur   ( 1 ; - 1 ) qui est non nul

                        et qui vérifie      .  = 0  car  1× 1 + 1 ×( - 1 ) = 0

   Conclusion:  Le vecteur   (  1   ; -  1 ) convient comme vecteur normal.

             3. Trouver une équation de la droite passant par le point G' et

                    orthogonale à  Δ.

                           Comme la droite Δ n'est pas horizontale elle admet

                          une équation réduite de la forme  y = - x + b'

                          Les coordonnées de G' vérifient cette équation.

                             Donc   9 = - 5 + b'

                             D'où   b' = 9 + 5 = 14

                              Conclusion :  l'équation réduite de cette droite est  y = - x + 14   

                4. Soit le cercle ( Γ ) d'équation  x² + y² + 2 x - 6 y + 2 = 0.

                   a. Les points A( - 3 ; 1 ) et B( 1 ;5 ) sont-ils sur le cercle (  Γ ) ? sur Δ ?

                        OUI .  Les points A et B ont leurs cordonnées qui vérifient

                              l'équation de  (  Γ ).

                       OUI .  Les points A et B ont leurs cordonnées qui vérifient

                            l'équation réduite   y = x +  4.de la droite  Δ .

                   b. Déterminer les coordonnées des deux points d'intersection

                        du cercle ( Γ ) avec l'axe des ordonnées.

                          Il faut et il suffit de considérer le système:

                            x = 0 

                            x² + y² + 2 x - 6 y + 2 = 0.  

                          Pour cela on résoud l'équation d'nconnue y

                              y²  - 6 y + 2 = 0.

                           Δ' = b' ² -  ac

                           Δ' = 9 - 2 = 7

                           Δ'  >0 

                            Les deux racines sont :

                                    (- b' -  √ Δ'   ) / a =     3 - √ 7

                                       (- b' +  √ Δ'   ) / a = 3 + √ 7

                  Conclusion: Les deux points sont  P( 0 ;  3 - √ 7) 

                        et  L ( 0 ;  3 + √ 7) 


           5. Les droites D' : y = 5 x - 3  et  D'' : y = - 0,2 x + 3

                    sont-elles orthogonales ?

                             OUI.  Le produit des coefficients directeurs est  - 1.

                               En effet    5× ( - 0 , 2 ) = - 1

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