INFO EX4 SPE Métropole 2017

          Sujet de spé maths.    2017  Métropole

             EXERCICE 4            ( 5 points ) 

                                  Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

     On appelle « triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, 

    un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs 

    x et x + 1, et dont l’hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels.

     Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de

    l’angle droit sont deuxnombres entiers consécutifs et dont la longueur

     de l’hypoténuse est un nombre entier.

        Si le triangle de côtés x , x + 1 et y, où y est la longueur de l’hypoténuse,

         est un TRPI, on dira que le couple (x ; y) définit un TRPI.

   Partie A

     1. Démontrer que le couple d’entiers naturels ( x; y ) définit un TRPI

              si et seulement si on a :   y²    = 2 x²   + 2 x  + 1 

        REPONSE: 

          D'après le Th de Pythagore et sa réciproque:

          Le trianglede côtés x , x + 1 et y,  est rectangle de longueurde l’hypoténuse y,

         si et seulement si on a :   y²   = x²  + ( x  + 1 )²     

           c - à- d   si et seulement si on a :    y²  = x²  + x² + 2 x  + 1  

            c - à- d   si et seulement si on a :    y²   = 2 x²  + 2 x  + 1  

           Conclusion: On a bien l'équivalence demandée.

     2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini 

         par le couple (3 ; 5). 

           REPONSE:

           Faisons des essais succesifs pour x = 1 , x = 2 , x = 3.

         •     x = 1   alors        x + 1 = 2    Donc:    x² +  ( x +  1 )²   = 1 + 4 = 5

               Mais 5 n'est pas la carré d'un entier. Cela ne convient pas.

           •     x = 2   alors        x + 1 = 3        Donc:   x² +  ( x +  1 )²   = 4  + 9   = 13

                     Mais 13 n'est pas la carré d'un entier. Cela ne convient pas.

         •     x = 3   alors        x + 1 = 4        Donc:  x² +  ( x +  1 )²   = 9  + 16   = 25 = 5² 

                Alors en prenant y= 5  on a bien   y² =   x² +  ( x +  1 )²   

           Conclusion: C'est bien le couple ( x , y ) = ( 3 , 5 )  d'entiers non nuls

         qui est le plus petit c-à-d  vérifiant y² =   x² +  ( x +  1 )²   

         c-à-d tel que le triangle soit un TRPI.  

     3. a. Soit n un entier naturel. Montrer que si n²  est impair alors n est impair.

          REPONSE: 

           Soit n un entier naturel.

          On veut montrer que : n²  est impair ⇒ n est impair

          1^ère méthode.

           Raisonnons par l'absurde.

           Soit  n²  est impair   et n est pair Donc

          Alors : ∃ p ∈ IN  /  np = 2 p

           Donc     n² = 4 p = 2 × 2 p 

            Ainsi    n² est pair.   Contradiction avec n²  est impair

           Conclusion : On a bien l'implication vraie.

             2^ième méthode.

             n²  est impair ⇒ n est impair     a pour contraposée

             n est pair  ⇒   n²  pair  (  c-à-d   Non ( n est impair) ⇒  Non(  n² impair )   )

          Or si n est divisible par 2 alors  n×n est aussi divisible par 2.

          La contraposée est vraie .

          Conclusion : On a bien l'implication vraie.

       b. Montrer que dans un couple d’entiers (x ;  y) définissant un TRPI,

             le nombre y est nécessairement impair.

          REPONSE:

          Soit un couple d’entiers (x ;  y) définissant un TRPI.

            x et x + 1 sont l'un pair et l'autre impair.

            Leurs carrés sont donc, l'un pair et  l'autre impair.

             y² =   x² +  ( x +  1 )²   

          Ainsi:

           y²  est impair car c'est la somme de deux entiers l'un pair l'autre impair.

           Donc d'après la question 3.a  on déduit que y est impair.

           Conclusion : y est impair.

     4. Montrer que si le couple d’entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors

         x et  y sont premiers entre eux.        

    REPONSE:

          Soit D le PGCD de x et y.

         On a:    y²   = 2 x²  + 2 x + 1     c-à-d   y²   − 2   x²  −  2 x =  1  

           D l x  et  D l y  Donc  D l (  y²   − 2   x²  −  2 x)

          c-à-d     D l 1

          ainsi  D = 1

         Conclusion : x et y sont bien premiers entre eux.

   Partie B

        On note A  la matrice carrée :

       et B la matrice colonne :

       Soient x  et y deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels

          x′ et y′ par la relation :

    1. Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.

         REPONSE:

              Il vient :

         Ainsi directement:

           Conclusion: 

                x ' = 3 x + 2 y + 1

                y ' = 4 x + 3 y + 2

    2. a. Montrer que : y′² − 2 x′ (x′ + 1 ) = y²  − 2 x (x  + 1).

           REPONSE:

          On a :

 y′² − 2 x′ (x′ + 1 )  = ( 4 x + 3 y + 2 )²   − 2 ( 3 x + 2 y + 1) ( 3 x + 2 y + 1 + 1 )

         c-à-d 

y′² − 2 x′ (x′ + 1 )  = ( 4 x + 3 y )² + 2 ²  + 2×2 (4 x + 3 y ) − 2 ( 3 x + 2 y + 1) ( 3 x + 2 y + 2 )

        c-à-d

 y′² − 2 x′ (x′ + 1 )  = 16 x² + 9 y²  + 24 xy + 4 + 16 x + 12 y − 2 [ ( 3 x + 2 y )²  + 2 + 3 (3 x + 2 y  ) ] 

       c-à-d

 y′² − 2 x′ (x′ + 1)  = 16 x² + 9 y²  + 24 xy + 4 + 16 x + 12 y − 2 [ 9 x² + 4 y² + 12 x y + 2 + 9 x  + 6 y ]

      c-à-d

 y′² − 2 x′ (x′ + 1 )  =  16 x² + 9 y²  + 24 xy + 4 + 16 x + 12 y − 18 x² − 8 y² − 24 x y − 4 −  18x − 12 y

     c-à-d 

               y′² − 2 x′ (x′ + 1 )  =    − 2 x²  +  y²   −  2x

      c-à-d 

              y′² − 2 x′ (x′ + 1 )  =  y²   − 2 x²   −  2x

       Conclusion:       y′² − 2 x′ (x′ + 1 )  =  y²   − 2 x ( x+ 1)           

       b. En déduire que si le couple ( x ; y) définit un TRPI, alors le couple ( x′; y′)

            définit également un TRPI.

          REPONSE:           

          Si le couple ( x ; y) définit un TRPI, on a   y²   − 2 x²   −  2x = 1

           Mais     y′² − 2 x′ (x′ + 1 )  =  y²   − 2 x²   −  2x

           Donc :      y′² − 2 x′ (x′ + 1 )  =  1

           Ainsi : le couple ( x′; y′)  définit également un TRPI.

           Conclusion: l'implication est avérée.

    3. On considère les suites ( x_n )_n∈IN et ( y_n )_n∈IN d’entiers naturels, définies par

          x₀  = 3,  y₀ = 5 et pour tout entier naturel n :

          Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le couple

           (x_n ; y_n) définit un TRPI.

      REPONSE:   Faisons une récurrence sur IN.

              • n = 0

                     (x₀ ; y₀) = ( 3 ; 5 )

               Or on a vu que  ( 3 ; 5 )   définit un TRPI.

               donc c'est vrai pour n = 0

               • Soit n dans IN quelconque . 

              Montrons que si le couple  (x_n ; y_n) définit un TRPI alors 

               le couple  (x_{n + 1} ; y_{n + 1}) définit un TRPI .

            Posons ( x ; y ) =  (x_n ; y_n)  

              On a  ( x ; y ) qui définit un TRPI  car   (x_n ; y_n) définit un TRPI .

            D'après la question précédente le couple ( x ' ; y ' )

              tel que 

                définit un TRPI . 

             Mais  ( x ' ; y ' ) =  (x_{n + 1} ; y_{n + 1})

              puisque

             Donc     (x_{n + 1} ; y_{n + 1})   définit un TRPI .

              Conclusion : le résultat est avéré sur IN

    4. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI 

         dont les longueurs des  côtés sont supérieures à 2017.

            REPONSE:

               Il suffit de calculer  (x_n  ; y_n)  pour n prenant les entiers 0 ; 1 ; 2 ;3 ; 4

               On a :

                          x_{n + 1} =  3  x_n  + 2  y_n  + 1

                            y_{n + 1} = 4   x_n  + 3  y_n   +  2

   Ainsi  on calcule les coples successifs juqu'à avoir des entiers supérieurs à 2017:

                   Un TRPIdont les longueur des côtés sont supérieur à 2017 est

               obtenu pour n= 4.

              Conclusion: x = 4059      x + 1 = 4060     y = 5741

                   Avec la calculatrice : TI 84 +:

                     MODE 

                    Func   PAR     POL    SEQ 

   Y=    

    nMin=0

^.._.  u( n) = 3*u( n − 1 ) + 2*v(n  − 1) + 1

   u(nMin) = {3} 

^.._.  v( n)= 4*u( n − 1 ) + 3*v(n  − 1) + 2

     v(nMin) = {5} 

                    Avec  2ND TABLE

              On obtient le tableau :    

  17MASSMLR1