INFO EX4 SPE Métropole 2017

          Sujet de spé maths.    2017  Métropole

             EXERCICE 4            ( 5 points ) 

                                  Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

     On appelle « triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, 

    un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs 

    x et x + 1, et dont l’hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels.

     Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de

    l’angle droit sont deuxnombres entiers consécutifs et dont la longueur

     de l’hypoténuse est un nombre entier.

     Der12

        Si le triangle de côtés x x + 1 et y, où y est la longueur de l’hypoténuse,

         est un TRPI, on dira que le couple (x ; ydéfinit un TRPI.

   Partie A

     1. Démontrer que le couple d’entiers naturels x; définit un TRPI

              si et seulement si on a :   y2    = 2 x2   + 2 x  + 1 

        REPONSE: 

          D'après le Th de Pythagore et sa réciproque:

          Le trianglede côtés x x + 1 et y,  est rectangle de longueurde l’hypoténuse y,

         si et seulement si on a :   y2   = x2  + ( x  + 1 )2     

           c - à- d   si et seulement si on a :    y2  = x2  + x2 + 2 x  + 1  

            c - à- d   si et seulement si on a :    y2   = 2 x2  + 2 x  + 1  

           Conclusion: On a bien l'équivalence demandée.

     2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini 

         par le couple (3 ; 5). 

           REPONSE:

           Faisons des essais succesifs pour x = 1 , x = 2 , x = 3.

         •     x = 1   alors        x + 1 = 2    Donc:    x2 +  ( x +  1 )2   1 + 4 = 5

               Mais 5 n'est pas la carré d'un entier. Cela ne convient pas.

           •     x = 2   alors        x + 1 = 3        Donc:   x2 +  ( x +  1 )2   = 4  + 9   = 13

                     Mais 13 n'est pas la carré d'un entier. Cela ne convient pas.

         •     x = 3   alors        x + 1 = 4        Donc:  x2 +  ( x +  1 )2   = 9  + 16   = 25 = 5

                Alors en prenant y= 5  on a bien   y2 =   x2 +  ( x +  1 )2   

           Conclusion: C'est bien le couple ( x , y ) = ( 3 , 5 )  d'entiers non nuls

         qui est le plus petit c-à-d  vérifiant y2 =   x2 +  ( x +  1 )2   

         c-à-d tel que le triangle soit un TRPI.  

     3. a. Soit n un entier naturel. Montrer que si n est impair alors n est impair.

          REPONSE: 

           Soit n un entier naturel.

          On veut montrer que : n est impair ⇒ n est impair

          1ère méthode.

           Raisonnons par l'absurde.

           Soit  n est impair   et n est pair Donc

          Alors : ∃ p ∈ IN  /  np = 2 p

           Donc     n2 = 4 p = 2 × 2 p 

            Ainsi    n2 est pair.   Contradiction avec n est impair

           Conclusion : On a bien l'implication vraie.

             2ième méthode.

             n est impair ⇒ n est impair     a pour contraposée

             n est pair  ⇒   n pair  (  c-à-d   Non ( n est impair) ⇒  Non(  n2 impair )   )

          Or si n est divisible par 2 alors  n×n est aussi divisible par 2.

          La contraposée est vraie .

          Conclusion : On a bien l'implication vraie.

       b. Montrer que dans un couple d’entiers (x ;  ydéfinissant un TRPI,

             le nombre y est nécessairement impair.

          REPONSE:

          Soit un couple d’entiers (x ;  ydéfinissant un TRPI.

            x et x + 1 sont l'un pair et l'autre impair.

            Leurs carrés sont donc, l'un pair et  l'autre impair.

             y2 =   x2 +  ( x +  1 )2   

          Ainsi:

           y2  est impair car c'est la somme de deux entiers l'un pair l'autre impair.

           Donc d'après la question 3.a  on déduit que y est impair.

           Conclusion : y est impair.

     4. Montrer que si le couple d’entiers naturels (x ; ydéfinit un TRPI, alors

         x et  y sont premiers entre eux.        

    REPONSE:

          Soit D le PGCD de x et y.

         On a:    y2   = 2 x2  + 2 x + 1     c-à-d   y2   −   x2  −  2 x =  1  

           D l x  et  D y  Donc  D l (  y2   −   x2  −  2 x)

          c-à-d     D l 1

          ainsi  D = 1

         Conclusion : x et y sont bien premiers entre eux.

   Partie B

        On note A  la matrice carrée :

          2017mat

       et B la matrice colonne :

           2017mat2  

       Soient x  et y deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels

          x′ et y′ par la relation :

          2017mat3

    1. Exprimer x′ et y′ en fonction de x et y.

         REPONSE:

              Il vient :

              147k

         Ainsi directement:

           Conclusion: 

                x ' = 3 x + 2 y + 1

                y ' = 4 x + 3 y + 2

    2. a. Montrer que : y2 x′ (x+ 1 ) = y2  2 x (x  + 1).

           REPONSE:

          On a :

 y2 x′ (x+ 1 )  = ( 4 x + 3 y + 2 )  − 2 ( 3 x + 2 y + 1) ( 3 x + 2 y + 1 + 1 )

         c-à-d 

y2 x′ (x+ 1 )  = ( 4 x + 3 y )2 + 2 2  + 2×2 (4 x + 3 y ) − 2 ( 3 x + 2 y + 1) ( 3 x + 2 y + 2 )

        c-à-d

 y2 x′ (x+ 1 )  = 16 x+ 9 y + 24 xy + 4 + 16 x + 12 y − 2 [ ( 3 x + 2 y )2  + 2 + 3 (3 x + 2 y  ) ] 

       c-à-d

 y2 x′ (x+ 1)  = 16 x+ 9 y + 24 xy + 4 + 16 x + 12 y − 2 [ 9 x+ 4 y2 + 12 x y + 2 + 9 x  + 6 y ]

      c-à-d

 y2 x′ (x+ 1 )  =  16 x+ 9 y + 24 xy + 4 + 16 x + 12 y − 18 x− 8 y− 24 x y − 4 −  18x − 12 y

     c-à-d 

               y2 x′ (x+ 1 )  =    2 x2  +  y2   −  2x

      c-à-d 

              y2 x′ (x+ 1 )  =  y2   2 x2   −  2x

       Conclusion:       y2 x′ (x+ 1 )  =  y2   2 x ( x+ 1)           

       b. En déduire que si le couple x ; ydéfinit un TRPI, alors le couple x′; y)

            définit également un TRPI.

          REPONSE:           

          Si le couple x ; ydéfinit un TRPI, on a   y2   2 x2   −  2x = 1

           Mais     y2 x′ (x+ 1 )  =  y2   2 x2   −  2x

           Donc :      y2 x′ (x+ 1 )  =  1

           Ainsi : le couple x′; y définit également un TRPI.

           Conclusion: l'implication est avérée.

    3. On considère les suites ( xn )n∈IN et y)n∈IN d’entiers naturels, définies par

          x0  = 3,  y0 = 5 et pour tout entier naturel n :

                   2017mat4

          Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le couple

           (xn yndéfinit un TRPI.

      REPONSE:   Faisons une récurrence sur IN.

              • n = 0

                     (x0 y0) = ( 3 ; 5 )

               Or on a vu que  ( 3 ; 5 )   définit un TRPI.

               donc c'est vrai pour n = 0

               • Soit n dans IN quelconque . 

              Montrons que si le couple  (xn yndéfinit un TRPI alors 

               le couple  (xn + 1 yn + 1définit un TRPI .

            Posons ( x ; y ) =  (xn yn)  

              On a  ( x ; y ) qui définit un TRPI  car   (xn yndéfinit un TRPI .

            D'après la question précédente le couple ( x ' ; y ' )

              tel que 

               2017mat3

                définit un TRPI . 

             Mais  ( x ' ; y ' ) =  (xn + 1 yn + 1)

              puisque

                2017mat4

             Donc     (xn + 1 yn + 1  définit un TRPI .

              Conclusion : le résultat est avéré sur IN

    4. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI 

         dont les longueurs des  côtés sont supérieures à 2017.

            REPONSE:

               Il suffit de calculer  (xn  yn)  pour n prenant les entiers 0 ; 1 ; 2 ;3 ; 4

               On a :

                          xn + 1 =  3  xn  + 2  yn  + 1

                            yn + 1 = 4   xn  + 3  yn   +  2

   Ainsi  on calcule les coples successifs juqu'à avoir des entiers supérieurs à 2017:

n  xn   y
0 3 5
1 20 29
2 119 169
3 696 985
4 4059 5741

                   Un TRPIdont les longueur des côtés sont supérieur à 2017 est

               obtenu pour n= 4.

              Conclusion: x = 4059      x + 1 = 4060     y = 5741

                   Avec la calculatrice : TI 84 +:

                     MODE 

                    Func   PAR     POL    SEQ 

   Y=    

    nMin=0

...  u( n) = 3*u( n − 1 ) + 2*v(n  − 1) + 1

   u(nMin) = {3} 

...  v( n)= 4*u( n − 1 ) + 3*v(n  − 1) + 2

     v(nMin) = {5} 

                    Avec  2ND TABLE

              On obtient le tableau :    

 n     u(n)    v(n)  
0 3 5
1 20 29
2 119 169
3 96 985
4 4059 5741

        

  17MASSMLR1