INFO EX4 DS 10 1S MAI 09

 INFO   EX 4      DS n°10        23 MAI 2009    1S

    EXERCICE 4

           Soit la suite de terme général  kn = ( 1 / n )  sin( 1 / n ) 

          pour tout n dans IN.

           Montrer  que la suite ( k ) converge.

               ( On pourra utiliser un encadrement )

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 Réponse:

           Soit n dans  IN.

          On a :    - 1 =< sin ( 1 / n ) =< 1

         Mais    1/ n > 0

         Donc     - 1 / n =< ( 1 / n ) sin( 1 / n ) =< 1 / n       

        c-à-d         - 1 / n =<    k =< 1 / n  

         Or      lim 1 / n  =    lim 1 / n   = 0

                    n →  +∞       n →  +∞ 

       Ainsi d'après le théorème des gendarmes

               lim kn  = 0

               n →  +∞  

          Conclusion:   La suite ( k ) converge vers  0.