FEUILLE D'EX TS spé maths mai 2017

               Arithmétique       TS  Spé math.     Mai 2017

     EXERCICE 1

        On rappelle que " tout entier naturel n tel que n ≥ 2 admet au moins

        un nombre premier comme diviseur ".

       Soit A et B deux entiers naturels premiers entre eux.

       Établir qu'il en est de même pour  leur somme et leur produit c-à-d pour A + B et AB.

      EXERCICE 2

           Soit A et B deux  entiers naturels non nuls et  d = PGCD(A , B ).

          Établir le résultat:

         <<  Il existe deux entiers A '  et B ' premiers entre eux tels que :

            A = d×A '       et    B  = d×B '      >>

     EXERCICE 3

          Soit A et B deux entiers naturels non nuls tels que:

                A + B = 72     et   PGCD(A ,B ) = 9

          Trouver tous les couples ( A , B ) possibles.

    EXERCICE 4

           Soit A et B deux entiers naturels non nuls.

           Soit E un entier naturel non nul.

            Établir l'équivalence:

      (    E |   A+B    et    E |  A2 − AB+ B2     )  ⇔ (   E |   A+B    et    E | 3 AB    )

       EXERCICE 5

        Soit n un entier naturel quelconque  tel que n ≥ 5.

        On pose  a = n3 − n2 − 12 n   et b = 2 n2 − 7 n − 4

       1.  Établir que a et b sont divisibles par n − 4 .

       2. Montrer que 2 n + 1 et n sont premiers entre eux.

       3. Montrer que tout diviseur commun de 2 n + 1 et n + 3 est

          un diviseur de 5 .   

       4. Montrer que :

              (    5 | n + 3   et    5 | 2 n +1   ) ⇔    5 | n − 2  

       5. Suivant n trouver PGCD(a ,b) en fonction de n.

       6. Pour n = 11   et pour n = 12 vérifier les résultats obtenus.

        (   11 − 2 non multiple de 5  et    12 − 2  multiple de 5   )

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