INFO 3 DS n° 1 1S1 07/10/09
• EXERCICE 4 4 POINTS
Le plan est muni d'un repère orthonormal
Unité graphique : 1 cm
Soit la fonction h : x x2 + x - 2 .
1. Mettre h( x ) sous la forme ( canonique ):
a ( x - α )² + β où les letres α et β sont deux réels à préciser.
2. Soit ( C ) la courbe de la fonction h.
Soit ( C ' ) la courbe de la fonction k : x x2 .
a. Comment peut-on obtenir la courbe ( C ) de h
à partir de celle de ( C ' )?
b. Représenter la courbe ( C ) de la fonction h.
3. Soit la droite D: y = - 3 x - 6.
Résoudre graphiquement l'équation h( x ) = - 3 x - 6 .
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Réponse:
1. Forme canonique de h( x ) .
Soit x dans IR .
On a : h( x ) = x2 + x - 2 .
c-à-d h( x ) = x2 + 2 ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 2 )² - ( 1 / 2 )² - 2 .
c-à-d h( x ) = ( x + 1 / 2 ) )² - 1 / 4 - 2
c-à-d h( x ) = ( x - ( - 1 / 2 ) )² - 9 / 4
Conclusion : h( x ) = ( x - ( - 1 / 2 ) )² - 9 / 4 est la forme
canonique de h( x ) pour tout x dans IR
α et β sont - 1/ 2 et - 9 / 4 respectivement .
2. a. Obtention de ( C ) à partir de ( C ' ).
On a: h( x ) = g( x - ( - 1 / 2 ) ) + 2 pour tout x dans IR.
Donc la courbe ( C ) de h est l'image de la courbe ( C ' )
de g par la translation de vecteur - 1 / 2 vect( i ) - 9 / 4 vect( j ).
b. Représentation de ( C ).
3. Résolution graphique de h( x ) = - 3 x - 6 .
On trace dans le même repère orthonormal la droite D et
la courbe ( C ).
D et ( C ) n'ont qu'un seul point commun B d'abscisse - 2 .
Son abscisse - 2 est la solution de l'équation
h( x ) = - 3 x - 6 .
Conclusion: - 2 est la solution de l'équation h( x ) = - 3 x - 6 .
Remarque:
Par le calcul :
Soit x dans IR.
h( x ) = - 3 x - 6 s'écrit x2 + x - 2 = - 3 x - 6
c-à-d x2 +4 x +4 = 0
c-à-d ( x + 2 )² = 0
c-à-d x = - 2
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• EXERCICE 5 2 POINTS
1. Trouver trois réels a ,b , c tels que:
( x - 3 ) ( a x2 + b x + c ) = x3 + 2 x2 - 9 x - 18
2. Résoudre l'équation x3 + 2 x2 - 9 x - 18 = 0 .
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Réponse :
1. Par division :
Il apparaît que : ( x - 3 ) ( x2 + 5 x + 6 ) = x3 + 2 x2 - 9 x - 18
pour tout réel x.
Conclusion : a = 1 b = 5 c = 6
2. Résolution de l'équation : x3 + 2 x2 - 9 x - 18 = 0 .
c-à-d ( x - 3 ) ( x2 + 5 x + 6 ) = 0
c-à-d x - 3 = 0 ou x2 + 5 x + 6 = 0
c-à-d x = 3 ou x2 + 5 x + 6 = 0
Considérons x2 + 5 x + 6 = 0.
On a : Δ = b² - 4 ac
c-à-d Δ = 25 - 24 = 1
Donc Δ > 0 ( Rappel : √1 = 1 )
Les deux racines distinctes sont :
( - b - √ Δ) / ( 2a ) = ( - 5 - 1 ) / 2 = - 3
( - b + √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 5 + 1 ) / 2 = - 2
Ainsi : x3 + 2 x2 - 9 x - 18 = 0 équivaut à
x = 3 ou x = - 3 ou x = - 2
Conclusion : SIR = { - 3 ; - 2 ; 3 }
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