INFO3 DS n°1 1S1 07/10/09

 INFO 3      DS  n° 1               1S1                    07/10/09     

EXERCICE 4         4 POINTS

                        Le plan est muni d'un repère orthonormal                                                                          

                           .  

                                Unité graphique : 1 cm  

                                Soit la fonction h : x   x2  + x -  2   .

                       1. Mettre h( x ) sous la forme ( canonique ):

                                   a ( x - α )² + β    où les letres α  et  β  sont deux réels à préciser.

                       2. Soit ( C ) la courbe de la fonction h.

                           Soit ( C ' ) la courbe de la fonction  k : x   x2  .

                           a. Comment peut-on obtenir la courbe ( C ) de h

                               à partir de celle de ( C ' )?

                           b. Représenter la courbe ( C ) de la fonction h.

                       3. Soit la droite D: y = - 3 x - 6.

                           Résoudre graphiquement l'équation  h( x ) = - 3 x - 6 .

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         Réponse:

                         1.  Forme canonique de h( x ) .

                                  Soit x dans IR .

                                  On a :          h( x ) = x2  + x -  2   .

                              c-à-d       h( x ) =  x2  + 2 (  1 / 2 ) x  + (  1 / 2 )² - ( 1 / 2 )² -  2   .

                              c-à-d       h( x ) =  ( x +  1 / 2 ) )²   - 1 / 4 - 2

                              c-à-d       h( x ) =  ( x - ( -  1 / 2 ) )²   -  9 / 4

                                   Conclusion :     h( x ) =  ( x - ( -  1 / 2 ) )²   -  9 / 4  est la forme

                                                 canonique de h( x ) pour tout x dans IR

                                              α  et   β    sont   - 1/ 2   et   - 9 / 4  respectivement .

                         2.  a. Obtention de ( C ) à partir de ( C ' ).

                                    On a:   h( x ) = g( x - ( - 1 / 2 ) ) + pour tout x dans IR.

                                    Donc la courbe ( C ) de h est l'image de la courbe ( C ' )

                                   de g par  la translation de vecteur   - 1 / 2 vect( i ) - 9 / 4 vect( j ).

                                b. Représentation de ( C ).

                                             

                           3. Résolution graphique de h( x ) = - 3 x - 6 .

                                On trace dans le même repère orthonormal la droite D et

                                 la courbe ( C ).

                                     

                                D et ( C ) n'ont qu'un seul point commun B d'abscisse - 2 .

                                Son abscisse  - 2 est la solution de l'équation

                                 h( x ) = - 3 x - 6 .

                                Conclusion:   - 2 est la solution de l'équation h( x ) = - 3 x - 6 .

                                 Remarque:

                                        Par le calcul :  

                                        Soit x dans IR.

                                         h( x ) = - 3 x - 6  s'écrit    x2  + x -  2   = - 3 x - 6  

                                     c-à-d     x2  +4 x +4 = 0

                                     c-à-d     ( x  + 2 )² = 0

                                     c-à-d      x = - 2

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      • EXERCICE 5        2 POINTS

                              1. Trouver trois réels a ,b , c tels que:

                                 ( x - 3 ) ( a x2 + b x + c ) =  x3 + 2 x2  - 9 x - 18

                              2. Résoudre l'équation   x3 + 2 x2  - 9 x - 18 = 0 .                             

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   Réponse :

                           1.  Par division :

                                         

                                  Il apparaît que  : ( x - 3 ) (  x2 + 5 x + 6 ) =  x3 + 2 x2  - 9 x - 18    

                                  pour tout réel x.           

                                    Conclusion :    a = 1       b = 5        c = 6             

                           2. Résolution de l'équation :   x3 + 2 x2  - 9 x - 18 = 0 .  

                                  c-à-d      ( x - 3 ) (  x2 + 5 x + 6 ) =  0

                                  c-à-d       x - 3 =  0     ou    x2 + 5 x + 6  =  0 

                                  c-à-d      x = 3     ou   x2 + 5 x + 6   =  0

                           Considérons     x2 + 5 x + 6   =  0.

                              On a :   Δ = b² - 4 ac

                              c-à-d     Δ = 25 - 24 = 1

                              Donc   Δ  > 0                ( Rappel :   √1  = 1  )

                               Les deux racines distinctes sont :

                               ( - b - √ Δ) / (  2a )   =  ( - 5 - 1 ) / 2 = - 3

                               ( - b +  √ Δ ) / ( 2 a ) = ( - 5 + 1 ) / 2 = - 2

                         Ainsi :     x3 + 2 x2  - 9 x - 18 = 0  équivaut à

                                      x  = 3    ou    x = - 3    ou    x = - 2

                                       Conclusion :    SIR = { - 3 ; - 2 ; 3 }

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