INFO EX 1 Feuille 2 suites TS

            FEUILLE    n° 2       INFO  EXERCICE 1          SUR LES SUITES        TS     SEPT 2012

      EXERCICE 1

     Soit la suite récurrente ( u) définie sur IN par :

                  suite-recurrente-ex1-feuille-2.gif

        1. Donner le sens de variation de cette suite.

        2. Etablir que cette suite est minorée par 2 sur IN.

           Est-elle convergente ? Dans l'affirmative donner sa limite.

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   Réponse : 

           1. Donnons le sens de variation de la suite ( u)  sur IN.

               ≡ Donnons ses premiers termes pour déceler une tendance.

                           u0  =  4

                            u= 0,5 × u0  + 1 = 4 / 2 + 1 =  3  

                            u= 0,5 × u1  + 1 =  3 / 2 + 1 =  2,5

                      On peut conjecturer que la suite est décroissante sur IN.

                ≡≡   Reste à l'établir par récurrence sur IN.    

                       Pour cela montrons que :

                             un  +  1   ≤  un   pour tout n dans IN.

                       • Soit n = 0 

                              un  +  1   ≤  un     s'écrit : 

                              u 1   ≤  u0     

                              c-à-d    3  ≤  4     ce qui est vrai.

                          Donc   un  +  1   ≤  un     et vraie pour  n = 0 .

                           • Soit n quelconque dans IN.

                         Montrons que si     un  +  1   ≤  un    alors   un  +  2   ≤  un  + 1   .

                        Considérons :       un  +  1   ≤  un  

                                       Alors      0,5   ×  un  +  1   ≤    0,5 × un       

                              D'où               0,5  ×  un  +  1   + 1  ≤  0,5 × un   + 1

                             c-à-d                 un  +  2   ≤  un  + 1  

           Conclusion : OUI ; la suite ( un ) est décroissante sur IN.

                2. Montrons par récurrence sur IN que  un ≥ 2 pour tout n dans IN.

                             • n = 0

                                 un  = u0 = 4  

                                   4  ≥ 2

                                un ≥ 2 est donc vrai pour n = 0

                            • Soit n dans IN quelconque.

                                Montrons que si  un ≥ 2   alors  un + 1 ≥ 2   .

                                 Considérons  un ≥ 2

                                   Alors :

                                                        inegalite-233.gif  

                                   c-à-d    0,5  un  + 1    ≥    0,5 × 2   +

                                  c-à-d    

                                                         inegalite-456.gif

                                    Conclusion : La suite est bien minorée par 2 sur IN.  

                           Regardons  si la suite converge.

                                Elle est décroissante et elle est minorée sur IN.                           

                            Ainsi, d'après un résultat de cours admis elle converge.

                            Conclusion :   La suite  est bien  convergente   

                                                          c-à-d admet une limite finie L.  

                          Donnons sa limite finie L .

                           Soit la fonction affine      f : x → 0,5 x + 1

                             On a :

                                          relation-de-recurrence.gif            ( 1 )

                            On a :       lim f( x ) = 0,5 L +  1 

                                            x   →  L

                           Ainsi  pour n très grand   la relation  ( 1 ) s'écrit:                                                       

                                           L = 0,5 L + 1

                         c-à-d            0,5 L = 1      

                        c-à-d             L = 2      

                     Conclusion :  La suite admet comme limite 2   

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