FEUILLE n° 2 INFO EXERCICE 1 SUR LES SUITES TS SEPT 2012
EXERCICE 1
Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par :
1. Donner le sens de variation de cette suite.
2. Etablir que cette suite est minorée par 2 sur IN.
Est-elle convergente ? Dans l'affirmative donner sa limite.
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Réponse :
1. Donnons le sens de variation de la suite ( un ) sur IN.
≡≡ Donnons ses premiers termes pour déceler une tendance.
u0 = 4
u1 = 0,5 × u0 + 1 = 4 / 2 + 1 = 3
u2 = 0,5 × u1 + 1 = 3 / 2 + 1 = 2,5
On peut conjecturer que la suite est décroissante sur IN.
≡≡ Reste à l'établir par récurrence sur IN.
Pour cela montrons que :
un + 1 ≤ un pour tout n dans IN.
• Soit n = 0
un + 1 ≤ un s'écrit :
u 1 ≤ u0
c-à-d 3 ≤ 4 ce qui est vrai.
Donc un + 1 ≤ un et vraie pour n = 0 .
• Soit n quelconque dans IN.
Montrons que si un + 1 ≤ un alors un + 2 ≤ un + 1 .
Considérons : un + 1 ≤ un
Alors 0,5 × un + 1 ≤ 0,5 × un
D'où 0,5 × un + 1 + 1 ≤ 0,5 × un + 1
c-à-d un + 2 ≤ un + 1